有关Lemek's algo中，除了Initial Ray外Second Ray是不可能出现（W0，W1，W2，。。。Z0均严格>0）的证明

    感觉Murty的书里讲的不清楚，我自己整理了遍自己的证明

   1。首先当Ax=b（A mxn）不是Degenerate的情况下（即b不可能由任意<m个的列向量表示出来的情况下）使用Lemke Law是不会出Basis Cycling的情况的。

证明：如果一个出现了Cycling的情况意味，对于某个Basis它可以由3个不同的Basis分别通过Enter一个Variable来达到，例如对于W0,Z0,W1,Z1,W2,Z2,W3,Z3,

假设它的某个Almost Complementary Feasible Basis：（Y0，Y1，Y2，Z0）可以由

     1.（Y0，Y2，Y3，Z0）-> (Y1 Enter,Y3 Leave)

     2.（Y1，Y2，Y3，Z0）-> (Y0 Enter,Y3 Leave)

     3.（Y0，Y1，Y3，Z0）-> (Y2 Enter,Y3 Leave)

这3种情况到达，那么显然3种情况下Y3都是Drop Variable而Y3 = （W3，Z3）其中的一个。显然上述式子中至少有2个的Y3是相同的，也就是至少有2个Y3都等于Z3或者都等于W3

以W3为例，假设：

      1.（Y0，Y2，W3，Z0）-> (Y1 Enter,Y3 Leave)

      2.（Y1，Y2，W3，Z0）-> (Y0 Enter,Y3 Leave)

 

显而易见（Y0，Y1，Y2，Z0）也可以通过

      1.（Y0，Y1，Y2，Z0）-> (W3 Enter,Y3 Leave) 到达 （Y0，Y2，W3，Z0）

      2.（Y0，Y1，Y2，Z0）-> (W3 Enter,Y0 Leave) 到达  （Y1，Y2，W3，Z0）

也就是说W3进入后，Basis（Y0，Y1，Y2，Z0）即可以选择Y3作为Drop Variable

又可以选择Y0做为Drop Variable来变为林外一个 Almost Complementary Feasible Basis

这意味着什么？意味着W3所对应的列向量中的第0 和第3行 的Minimum Ration是相同的，也就是

b0/a03 = b3/a33。这就意味着从Y0，Y1，Y2，Z0 到 Y0，Y2，W3，Z0或者Y1，Y2，W3，Z0的Pivot步骤被执行后

要么Y0对应的Basic Variable = 0 要么Y3对应的Basic Variable = 0 这就和非Degenerate的情况产生矛盾！

 因此：结论1

      Ax=b（A mxn）不是Degenerate的情况下（即b不可能由任意<m个的列向量表示出来的情况下）使用Lemke Law是不会出Basis Cycling

 结论2

     使用 Lexico Minimum ration来选择Drop Variable的情况下出现的Second Ray 是不会等于Initial Ray的，守先Murty书中说了当Ax=b是Degenerate的情况下可以通过给向量b一个扰动一就是存在一个足够小的数e0,对于任何e<e0 令E = (e,e^2,e^3...e^m) Ax=b+E是非Degenerate的，然后只要按照使用 Lexico Minimum ration来选择Drop Variable那么得出的Basis一定是Lexico feasible的（也就是一定存在足够小的e0 对任意e<e0 E = (e,e^2,e^3...e^m) ，Ax=b+E是Feasible的）。综合上面两条可得一定存在足够小的e0,对于任意e<e0 E = (e,e^2,e^3...e^m) ,我们对原系统Ax=b使用Lemke方法的时候系统:

1.Ax=b+E是非Degenerate的

2.Ax=b+E也进行着同样序列的Basis转换并且每次转换的Basis都是Feasible的（对应的变量均>=0）

 

接下来证明对于一个非Degenerate的系统Ax=b

因为它的初始BASIS是（w0,w1,w2,Wi-1,z0,Wi...Wm）

那么在使用Lemke的过程中他的Basis是不会变为（W0，W1，W2...Wj-1,z0,Wj...Wm）（i 不等于j）的

太累了明天继续写