微分起源

http://www.baike.com/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86

http://www.cnblogs.com/hustlzp/archive/2011/09/11/the-framework-of-the-calculus.html

以直代曲，以切线代曲线。

 

1. 微分由求给定曲线在给定点的切线问题开始的，求切线就是求导，就是得到Δy/Δx的极端值， 算出这个商的最终比。这个最开始研究的时候需要一点点计算出来，首先需要估计出Δy的值，Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

要得到Δy/Δx的极端值，假设它有值，值等于A，那么Δy长什么样呢？ Δy≈A×Δx，Δy=A×Δx+ο(Δx),  ο(Δx)=Δy-A×Δxο(Δx)，ο(Δx)大小怎么样呢？它应该是相对于Δy忽略不计的小，很小。伴随着Δx，Δy越来越小，ο(Δx)应该是越来越可以忽略掉了。

ο(Δx)是相比Δx的无穷小量，二者的比值ο(Δx)/Δx会无限接近0，而不是一个绝对值大于0的数，比如ο(Δx)是这样的(Δx)², (Δx)³, ln(Δx), 

最精彩的地方是我们把ο(Δx)去掉，正如y=x²,在x=2处的切线，Δx=0.000000000000000001, Δy=4Δx+(Δx)²=0.000000000000000004000000000000000001≈0.000000000000000004, 因为0.000000000000000000000000000000000001相对于Δx或者Δy(Δy如果恒为0，在这里不适用)实在是太小了，对一座大山增删一两粒灰尘根本无损他的高度，灰尘相对于大山就是ο(Δx)相对于Δx。

 

2. 由求切线引起

若想可导，Δy得长什么样呢？  Δy应该粗略可以表示成Δx的正比例，Δy≈A×Δx，Δy=A×Δx+ο(Δx), 

或者说Δy得长什么样，怎么猜到是Δx线性表示，可能是由大量的计算得到的经验吧。

 

3. 也可能是已经有了切线了，由于数值计算的需要，要研究Δy的变化情况，再看看Δy的估计？

 

4. 微分是在x0点的最佳线性近似。注意，还有其他的线性近似，但是都不如微分近似程度高。哈哈哈。在近似计算的求微分的过程中，主要工作是把A×Δx独立出来，剩下的ο(Δx)放一起。独立出来的A×Δx部分，为了以后计算方便，把系数A整理到表里，下次再用的时候直接拿来就用，起个名字就叫微分主要系数吧。

4.1 但是如果不能做这种线性近似，也就是不可微，那就太打击人了。而事实上呢，绝大部分的连续函数都是不可微的，但是我们平常看到的函数绝大多数是可导的，万幸啊。

 

从导数到微分

　　和导数紧密关联的是微分的概念。从上面的论述中我们知道，为解决 “变化率” 问题，催化了导数概念的诞生。那么又是什么样的问题，导致了微分的诞生？

　　在很多具体问题中，我们 往往需要计算函数的改变量：

　　　　

　　例如，求内半径为 r，厚度为  的球壳的体积，我们知道球体积公式为 。当半径从 r 增加到 r +  时，球的体积增加了

　　　　

　　这里的函数  很简单，所以求  的表达式也不算太麻烦（三次式展开，再相减就行）。但是，有些函数非常复杂，此时求  就不那么容易计算了。举个例子，现有函数  ，这时候你怎么求 ？

　　嘿嘿，数学家们也考虑到这个问题了，有些东西硬算算不动，那就用 “近似” 呗！用一个相对简单的式子去近似那些无法直接计算的东西，不就 OK 了嘛！（虽然近似或多或少会造成误差，但是如果误差极小，趋近于 0，那就无所谓了） 

　　此时，“微分” 的概念就快要 “粉墨登场” 了！

　　我们还是从导数的定义式出发：

　　　　

　　若令：

　　　　

　　那么显然有 ，即当  时，。对上式进行变形，有：

　　　　

　　也就是说，给自变量 x 一个改变量  时，函数 y 获得的改变量  由两部分组成：一部分是 （线性部分）；另一部分就是  （非线性部分）。

　　当  时，，所以  是一个比  更快地趋向于零的一个量。也就是说，当  很小时，第一部分  在  中所占的比例要比第二部分  大得多。因此，可以把第二部分忽略不计。总的来说就是：当  很小时，非线性部分会更快地趋向于 0，于是我们可以使用线性部分  来近似 。

　　呵呵，我们可以为这个线性部分  取一个名字 —— 微分，并用如下的符号表示：

　　　　

　　特别地，取 y = x，则有 ，即 （此式表明：自变量的增量等于自变量的微分），因此上式可以改写为：

　　　　

　　就这样，我们从导数的概念推出了微分的概念，微分描述了 当自变量 x 的改变 dx 足够小时，函数值 y 的改变 dy 可以用 f'(x)dx 来近似。你可能觉得，这有什么了不起的。不就是一个近似嘛。但是请仔细观察，当 x 是某个具体值的时候，f'(x) 可是一个常数！就是说 dy 和 dx 是成正比例的！进一步，就是说在 [x, x+] 区间内（足够小），y = f(x) 可以近似看成一条直线段！而且  越小，这种近似越精确！这样一来，我们就可以用线性的方法来处理非线性的问题了，相当方便！

　　如果对上面的话还不太理解，看下面一张图，极其经典，说明了微分的几何意义： 

　　

　　P 点和 M 点都在曲线上，其横坐标分别为 x 和 x+ 。

　　过 P 点做曲线切线交 OM 为 N，切线斜率即是导数 f'(x)，那么 dy = f'(x) ▪ dx 则表示线段 ON。当  时， 可以忽略不计，此时我们就可以用直线段 PN 来近似代替曲线段 PM 了。

微分学综述

　　微分学，是研究函数局部特性的学科。导数和微分，是微分学中最重要的两个概念。

　　我们可以求出函数的导数 f'(x)，它代表着函数在某点上因变量 y 相对于自变量 x 的变化率（从几何上来说，即是此点的切线的斜率）；进一步，我们导出了微分的概念，它可以将复杂函数在局部范围内近似成线性函数，斜率即为此点的导数。这种线性近似，使得对复杂函数的研究在局部上得到简化，为后续的研究工作提供了强有力的支持。

　　增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微分学理论的精髓所在。