向量场中的积分

1. 线积分

线积分的对象为数值量函数，用于计算诸如“非均匀曲线质量”这样的问题。解决办法是将曲线分割成无数小段，在每个小段上质量近似不变，于是总质量就是∑ρ(xi,yi)⊿s，ρ是线密度且表示为(x,y)的函数，s是曲线长度。再想想如何计算曲线长度并将问题一般化，就可以得到二维情形下的积分式子：

（假定曲线方程为y(x)，线密度为f(x,y)）

∫f(s)ds = ∫f(x,y(x))sqrt(1+y'2)dx

拓展到三维，将曲线使用向量式子表示，并使用参变量，就得到：

f(x,y,z)在曲线上取值，上式中假定曲线r可写为参变量t的形式<g(t), h(t), k(t)>，并利用了ds=|v(t)|dt。

实际计算时可由曲线向量式r(t)求导得到v(t)从而得到|v(t)|。

2. 向量场积分

同济《高等数学》教材称之为对坐标的曲线积分，因为积分式最终可化为对坐标积分形式。这里我们按《托马斯微积分》的名词称之为向量场积分。这种积分可用于计算变力在曲线上做的功。在计算时取函数在向量方向的分量，积分对象为向量函数（相比之下，线积分的对象为数值量函数）。

从上式中看出，向量场上的积分也可看作被积向量在曲线切方向上的(数值)线积分。

对于已知F和r的情况，使用∫F·vdt最为直观。

后三个式子（...=∫Mdx+Ndy+Pdz）可以这么理解：分别在各个方向计算“力”和“运动距离”的乘积然后累加。例如，M是“力”（F）在x方向的分量，而dx是“运动曲线”（r）在x方向的瞬时分量。

3. 流量积分与环流量

流量积分有两种：沿曲线方向和垂直曲线方向。这个小节先说第一种：沿曲线方向。如果曲线是直线，速度向量又沿着曲线方向且恒定，那么沿沿曲线方向的流量就是速率|v|乘上线长度。当然一般来说曲线非直线，速度也非恒定；此时流量积分（包括环流量）使用和向量场积分相同的式子：任意方向的“流”均可分解为沿曲线的切方向与法方向；只有切方向计入沿曲线的流量，法方向的“流”对流量的影响为0。

4. 通量

通量也称为“穿过曲线的流量”，是流出与进入某曲线围成区域流量的差，因此计算时使用垂直于曲线方向（法线方向）的速度分量。如果直接计算我们需要先算曲线的法向量n然后算F·n，好在一般来说我们不需要计算曲线的法向分量，而直接使用下述式子：

我们把一条平面曲线在某点的切分量和法分量都画一下：

上图中，法向量以小写n表示，避免与流速向量的N分量冲突。对于一个在x方向和y方向上的分量分别为dx和dy的小线段，从该线段的M方向上流出区域的量为Mdy，N方向流入区域的量为Ndx，综合起来在该线段上的总流出量就是Mdy-Ndx。上图中T和n的x分量同符号，y分量反符号，于是Mdy取正（M沿x方向），Ndx取负（N沿y方向）。

也许下面的图更加直观一点（注意环线上的箭头方向）：

Mdy：流出矩形（M入左侧负向环线，出右侧正向环线）

Ndx：流入矩形（N入下侧正向环线，出上侧负向环线）

5. 通量密度、散度；环量密度，旋度（k分量）

“散度”可理解为向量的“发散程度”，将x方向和y方向的发散程度（偏导）相加即得。

环量密度可以这样考虑：向量绕某点“旋转”的原因是内外流速差，N方向的内外流速差为dN/dx，M方向的流速差为-dM/dy。

6. 格林定理

[警告：以下两张图片复制自《托马斯微积分》中文版，不幸的是存在错误。当然，我相信对于你发现这个错误并不困难。]

散度是向量在区域某点的“发散”程度，在整个区域内积分就得到该区域上的通量；

旋度是向量绕区域某点的“旋转”程度，在整个区域内积分就得到该区域上的环量。