最近公共祖先(least common ancestors algorithm)

lca问题是最近公共祖先问题,一般是针对树结构的。
现在有两种方法来解决这样的问题

1. On-line algorithm

用比较长的时间做预处理。然后对每次询问进行回答。

思路:对于一棵树中的两个节点,假设是u和v。我们要找到他们的最近的一个祖先,那么我们可以这样找,首先判断他们是不是一辈儿的人,也就是说他们的深度是不是一样的,如果一个较深(u),一个较浅(v)。我们可以不断的找较深的节点的祖先,直到u和v的深度一致。如果此时u和v重合了,那么u(v)就是他们的最近公共最先,如果不重合,这时,就可以同时找u和v的祖先,直到找到为止(最坏的情况是根节点)。

这个思路比较好理解,处理也很方便,在求lca之前,可以通过dfs找到所有节点的father信息和depth信息。然后就可以按照思路进行求解了。

这个问题和编程之美中的一个题目非常的类似:判断两个链表是否相交。

扩展问题是,找他们的第一个交点(假设他们相交的话)。

思路:首先能够找到两条链表的长度,这个其实是两个链表首指针的depth信息。然后判断他们的depth是否一样,如果一个深,一个浅,那么首先让他们depth相同(对于指针,只需要next就可以了),然后判断当前的两个指针是否重合,如果不重合,那么两个指针,一起next,直到找到第一个交点。

发现,这两问题惊人的相似。感叹算法的灵活性~

2. off-line algorithm

离线算法,就是把所有的询问都读取进来,在算法执行的过程中,就把所有的询问回答了。

tarjan 算法是经典的离线lca算法。

tarjan算法利用了一个用于集合操作的数据结构-并查集(union-find set or disjoint set). 不过这里这个数据结构只是辅助性的,对于理解算法并无影响,理解了算法可以在去了解并查集是怎么一回事。

tarjan算法基于这样一个规律:假设当前节点为root,root节点肯定有很多子树了(每个儿子带领一个),那么我们从最左边的子树开始研究,如果要查询的两个节点u,v都在最左子树,那么这变成了一个更小规模的问题了。如果u在最左子树,而v在其他的子树,那么lca(v,u)=father(u)了。那么如果u在最左子树的一个子树里边,那么lca(v,u) = father(father(u)). 看到这里,熟悉并查集的同学,可能就知道了这就有点象查找集合的father信息。没错,这就是tarjan算法核心思想。

再用简单的语言描述一下:当我们dfs完一个节点v的时候,可以想象,以v为根的所有节点的father全是v了,此时我们从询问中查找,有没有和v相关的询问。如果有,那么查看u是否已经访问过了,如果访问过,肯定有father信息。试想,如果u和v在一棵子树里,那么v和u的lca就是v了。如果u在之前的子树里,lca(v,u) = father(u) 或者 lca(v,u)=father(father(u)),总之就是找u所在集合的根元素了。此时此刻,基本就把算法的思想搞的很明白了。

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