线性代数之向量空间
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0. 尽管我们在大多数情况下我们以Rn作为向量空间的研究对象，但实际上有很多非Rn形式的向量空间。
例如，最高次幂为n的多项式空间。
1. mxn矩阵A的零空间是Rn的子空间；同样，m个方程n个未知数的齐次线性方程组的解的集合也是Rn的子空间。
NulA的生成集中向量的个数等于方程Ax=0中自由变量的个数。
当且仅当Ax=0仅有平凡解，NulA={0}。
当且仅当x|->Ax是一对一的，NulA={0}。
2. mxn矩阵A的列空间是A的列的线性组合组成的集合，ColA是Rm的子空间。
当且仅当Ax=b对每一个b都有一个解，ColA=Rm
当且仅当x|->Ax将Rn映上到Rm，ColA=Rm
3. 向量空间V->W的线性变换T将V中每个向量x映射成W中唯一向量T(x)
线性变换T的核（即零空间）是V中所有满足T(u)=0的向量u的集合
T的值域（即列空间）是W中所有具有形式T(x)的向量的集合
4. 矩阵的行初等变换不影响矩阵列的线性相关关系（想象方程组的求解过程）
5. 矩阵A的主元列构成ColA的一个基
与矩阵A等价的阶梯矩阵的非零行构成RowA的一个基
若两个矩阵行等价，它们有相同的行空间
6. 如果一个一般意义上的向量空间（不一定是Rx）的基包含n个向量，那么该向量空间中的某个向量可以用相对于该基的坐标操作，这样就使得操作V像操作Rn一样方便。
例如，n次多项式向量空间的一个基是{t0, t1, ..., tn}
向量y=a0+a1t+...+antn相对于该基的坐标是Rn+1中的向量：
[a0 a1 ... an]T
7. 对Rn中的一个基B={b1,b2, ..., bn}，若令PB=[b1 b2 ... bn]
那么：x=PB[x]B
[x]B=PB-1x
8. 若向量空间V的一个基是B={b1,b2, ..., bn}，那么x|->[x]B是由V映上到Rn的一对一的线性变换。
9. 若B和C都是向量空间V的基，假定基中的向量个数为n，则存在一个nxn矩阵PC<-B使得：
[x]C=PC<-B[x]B
其中PC<-B是基B中向量的C-坐标向量：
PC<-B=[ [b1]c ... [bn]c ]
该矩阵称为由B到C的坐标变换矩阵。自然，
[x]B=PC<-B－1[x]C
如上所述，PC<-B是基B中向量的C-坐标向量，所以可以按下式求PC<-B：
[c1...cn | b1...bn] ~ [ I | PC<-B ]
10. 一个具有非负分量且各分量数值相加等于1的向量称为概率向量；随机矩阵是各列均为概率向量的方阵。
对一个nxn的正规随机矩阵P，存在稳态向量（也是概率向量）q使得Pq=q