离散信号系统响应分析方法
好的，我将上述内容重新组织，以另一种文本方式呈现：
离散信号系统响应分析
对于线性时不变（LTI）离散系统，其响应可以分为零输入响应（ZIR）、零状态响应（ZSR）、冲激响应和全响应。以下是详细的分析方法和示例。
零输入响应（Zero Input Response,ZIR）
核心概念：当系统输入为零时，仅由初始条件引起的系统响应。
分析步骤：
- 建立齐次方程：将系统差分方程中的输入项设为零。
• 例如，系统方程为(y[n]+a y[n-1]=x[n])，齐次方程为(y[n]+a y[n-1]=0)。
- 求解特征方程：假设解的形式为(y[n]=C\lambda^n)，代入齐次方程求解特征根(\lambda)。
• 例如，特征方程为(\lambda+a=0)，解得(\lambda=-a)。
- 确定系数：利用初始条件(y[-1],y[-2],\dots)求解齐次解中的常数(C)。
示例：
• 系统方程：(y[n]-0.5 y[n-1]=0)，初始条件(y[-1]=2)。
• 特征方程：(\lambda-0.5=0)，解得(\lambda=0.5)。
• 通解：(y{\text{ZIR}}[n]=C(0.5)^n)。
• 代入初始条件：当(n=-1)，(y[-1]=C(0.5)^{-1}=2C=2)，解得(C=1)。
• 最终结果：(y{\text{ZIR}}[n]=(0.5)^n\cdot u[n])。
零状态响应（Zero State Response,ZSR）
核心概念：当系统初始状态为零时，仅由输入信号引起的系统响应。
分析步骤：
-
求冲激响应(h[n])：计算系统对单位冲激信号(\delta[n])的响应。
-
卷积和计算：通过卷积(y{\text{ZSR}}[n]=x[n] * h[n]=\sum{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k])计算零状态响应。
示例：
• 系统方程：(y[n]-0.5 y[n-1]=x[n])，输入(x[n]=u[n])（单位阶跃）。
• 冲激响应(h[n]=(0.5)^n u[n])（具体求解见下文）。
• 零状态响应：
[
y{\text{ZSR}}[n]=u[n] * (0.5)^n u[n]=\sum{k=0}n(0.5){n-k}=2(1-0.5^{n+1})u[n].
]
冲激响应（Impulse Response,(h[n])）
核心概念：系统对单位冲激信号(\delta[n])的零状态响应。
求解方法：
-
递推法：直接代入(x[n]=\delta[n])，递推计算(h[n])。
-
Z变换法：对差分方程取Z变换，解(H(z)=Y(z)/X(z))，再反变换得到(h[n])。
示例：
• 系统方程：(y[n]-0.5 y[n-1]=x[n])。
• 方法1（递推）：
• (n=0)：(h[0]=\delta[0]+0.5 h[-1]=1)。
• (n\geq 1)：(h[n]=0.5 h[n-1])，解得(h[n]=(0.5)^n u[n])。
• 方法2（Z变换）：
• Z变换方程：(Y(z)-0.5 z^{-1}Y(z)=X(z))，解得(H(z)=\frac{1}{1-0.5 z^{-1}})。
• 反Z变换：(h[n]=(0.5)^n u[n])。
全响应（Total Response）
核心概念：零输入响应与零状态响应的总和，即：
[
y[n]=y{\text{ZIR}}[n]+y{\text{ZSR}}[n].
]
示例：
• 若(y{\text{ZIR}}[n]=(0.5)^n u[n])，(y{\text{ZSR}}[n]=2(1-0.5^{n+1})u[n])，则全响应为：
[
y[n]=\left((0.5)n+2(1-0.5{n+1})\right)u[n]=2(1-0.5{n+1}+0.5{n}/2)u[n].
]
分析流程总结
-
零输入响应：
[
\text{齐次方程}\xrightarrow{\text{特征方程}}\text{通解}\xrightarrow{\text{初始条件}}y{\text{ZIR}}[n].
] -
冲激响应：
[
x[n]=\delta[n]\xrightarrow{\text{递推/Z变换}}h[n].
] -
零状态响应：
[
y{\text{ZSR}}[n]=x[n] * h[n].
] -
全响应：
[
y[n]=y{\text{ZIR}}[n]+y{\text{ZSR}}[n].
]
关键公式速查
响应类型 公式
零输入响应 ( y_{\text{ZIR}}[n] = \sum C_k \lambda_k^n )
冲激响应 ( h[n] = \mathcal{Z}^{-1}{H(z)} )
零状态响应 ( y_{\text{ZSR}}[n] = x[n] * h[n] )
全响应 ( y[n] = y_{\text{ZIR}}[n] + y_{\text{ZSR}}[n] )