E-奇环(染色判断二分图+简单环判断)

E-奇环_牛客练习赛106 (nowcoder.com)

题目描述
有一张n个点的无向完全图，初始时任意两点间存在一条边(共"X(1)条边)。现从中删除m条边，删除的第i条边为ui,vi，判断删完这m条边的图中是否存在奇环。
。无向完全图:若无向简单图G中任意不同两点间均存在边相连，则称G为无向完全图。(无向简单图指没有重边和自环的无向图)
。奇环:指点的数量为奇数的简单环(简单环即没有重复边的环路)。关于简单环的定义可参考oi-wiki:图论相关概念-OI Wiki (oi-wiki.org)
输入描述:
第一行一个正整数1 第一行输入两个正整数1≤n ≤2×105,0≤m ≤ min(TX(-)，2 ×10%)，分别表示该无向完全图的点数、从该图中删除的边的数量。
接下来m 行，每行两个正整数1≤i,viSn，ui≠ v;以空格分隔，表示被删除的第i条边。保证输入没有重复的边。
保证对于T组测试数据，满足n≤2 ×105,m≤2×105。
输出描述:
对于每组测试数据，一行输出一个"YES”(不含引号）表示删完边的图中存在奇环，输出"NO”(不含引号）表示删完边的图中不存在奇环。
示例1

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来源：牛客网
 

输入

复制3 3 0 4 2 1 3 2 4 4 2 1 2 1 3

3
3 0
4 2
1 3
2 4
4 2
1 2
1 3

输出

复制YES NO YES

YES
NO
YES

说明

第三组数据中，存在 2 - 3 - 4 - 2 这个大小为 3 的环，由于 3 是奇数，因此图中存在奇环。

题解:

。无向完全图:若无向简单图G中任意不同两点间均存在边相连，则称G为无向完全图。(无向简单图指没有重边和自环的无向图)
。奇环:指点的数量为奇数的简单环(简单环即没有重复边的环路)

根据给出的这两个条件,假设我们得到的是一个没有奇环的图,我们可以把他视为一个二分图

并分为左部和右部,设左部n1个点,右边n2个点,最多应该由n1*n2个点

应满足

n1 + n2  = n

n*(n-1)/2-m <= n1*n2

化简后得到m >= n*n/4 - n/2

所以如果不满足二分图m < n*n/4 - n/2

此时一定存在奇数环

再结合题中数据如果n >= 896时 结合m的范围一定不满足

所以但是如果n < 896时,数据就很小了,我们直接染色法找是否有奇环即可

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