逐步优化求解最大子序列和

求解最大子序列和

tag： 数据结构与算法

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最大子序列和问题：

给定序列A₁, A₂，... A_N， 求最大的子序列和。
例如 ：
　　对于序列4, -3, 5, -2, -1, 2, 6, -2， 最大序列和为11（4 -3 + 5 - 2 - 1 + 2 + 6）

算法一：

利用两个循环，第一个循环把序列遍历一遍，第二个循环则从A_i累加到A_N，每加一次判断一下是否大于之前的最大子序列和：

int maxSubsequenceSum1 (const int arr[], int n) {
  int maxSum = 0;
  int temp;

  for (int i = 0; i < n; i++) {
    temp = 0;

    for (int j = i; j < n; j++) {
      temp += arr[j];
      if (temp > maxSum)
	maxSum = temp;
    }
  }

  return maxSum;
}

时间复杂度：O（n²）

算法二：

首先把序列从中间一分为二， 则最大子序列和的存在有三种情况：

1. 全在左边的子序列
   
2. 全在右边的子序列
   
3. 处在中间
   对于第一和第二种情况，只需要递归调用求解函数，对于第三种情况则要分别求出从中间出发，向左边和向右边各自的最大子序列和。

int max(int a, int b, int c) {
  int max;

  if (a > b)
    max = a;
  else 
    max = b;

  if (c > max)
    max = c;

  return max;
}

int maxSubsequenceSum2 (const int arr[], int begin, int end) {
  int maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftCenterSum, maxRightCenterSum, center, temp;

  if (begin >= end) {
    if (arr[begin] > 0)
      return arr[begin];
    else
      return 0;
  }

  center = (begin+end)/2;
  maxLeftSum = maxSubsequenceSum2(arr, begin, center);
  maxRightSum = maxSubsequenceSum2(arr, center+1, end);

  maxLeftCenterSum = 0;
  temp = 0;
  for (int i = center; i >= begin; i--) {
    temp += arr[i];

    if (temp > maxLeftCenterSum)
      maxLeftCenterSum = temp;
  }

  maxRightCenterSum = 0;
  temp = 0;
  for (int i = center+1; i <= end; i++) {
    temp += arr[i];

    if (temp > maxRightCenterSum)
      maxRightCenterSum = temp;
  }

  return max(maxLeftSum, maxRightSum, (maxLeftCenterSum+maxRightCenterSum));
}

时间复杂度:O(nlogn)

算法三:

累加序列,若发现当前序列和大于之前最大序列和,则替换.若发现当前序列和小于0,则将当前序列和置换成0,相当于把前面的序列都舍弃掉.

int maxSubsequenceSum3(int arr[], int n) {
  int tempSum = 0, maxSum = 0;

  for (int i = 0; i < n; i++) {
    tempSum += arr[i];
    if (tempSum < 0)
      tempSum = 0;
    if (tempSum > maxSum)
      maxSum = tempSum;
  }

  return maxSum;    
}

时间复杂度:O(n)