纯函数式堆（纯函数式优先级队列）part three ---- bootstrapping (自举)
前言：
这篇文章是基于我看过的一篇论文，主要是关于函数式数据结构，函数式堆（优先级队列），
我会以自己的理解写下来，然后论文中出现的代码将会使用scala这们语言。
论文链接： Optimal Purely Functional Priority Queues，另外一个链接： 论文。
正文：
紧接patr two，
这章介绍对合并和查找操作的优化，使得最终插入，合并，查找最小的时间复杂度均为O(1)。
这里我跳过了论文中增加全局根那一节，因为bootstrap这一节包含了增加全局根的内容。
bootstrapping Heap：
首先假设原始堆的定义是：
a表示堆中存储的元素类型。
然后给出最终的bootstrap堆的定义：
这里BHa表示bootstrap堆或者是一个空堆或者是Ra（R代表root），
Ra表示一个元素a和一个原始堆H包含其他非空的bootstrap堆Ra的元组。
a其实就是保存堆中最小的元素，这样查找最小的操作时间复杂度就变为O(1)。
而这里原始堆H选用的当然就是斜二项堆，这样保持插入的时间复杂度O(1)。
而bootstrap堆的合并操作其实就变成将一个bootstrap堆作为元素插入到斜二项堆中。
这里对于斜二项堆中保存的元素类型就是Ra。
这里的定义有递归的感觉，读者最好是熟悉了前两章的内容再来看这章，
因为我是精简很多内容，所以如果觉得我说的不清楚的，可以看看论文解释的很详细。
我觉得看论文中的代码对于我的理解很有帮助。
现在来描述bootstrap堆的操作，这里用f来表示斜二项堆HRa的操作，F来表示bootstrap堆BHa的操作。
FINDEMIN( <x, sh> ) = x , <x, sh>就是Ra的表示, sh 表示HRa，就是斜二项堆；
INSERT( x, sh ) = MELD( <x, empty>, sh )
MELD( <x1, sh1>, <x2, sh2> ) = < x1, insert( <x2, sh2>, sh1 ) > if x1 <= x2
MELD( <x1, sh1>, <x2, sh2> ) = < x2, insert( <x1, sh1>, sh2 ) > if x2 < x1
DELETEMIN( <x, sh> ) = <y, meld( sh1, sh2 )>
其中 <y, sh1> = findMin( sh )
sh2 = deleteMin( sh )
我们可以看到
查找最小的操作FINDMIN明显时间复杂度为O(1)，而对于合并操作MELD，时间复杂度的为O(1)，因为斜二项堆的
插入操作是O(1)，而插入操作其实就是化成合并操作MELD，所以时间复杂度为O(1)，而对于删除最小操作，时间复杂
度是O(log n)，因为对于斜二项堆findMin和deleteMin这两项的操作时间复杂度都是O(log n)。
bootsrtap堆的定义：
由于论文中的代码用的是ML语言，将之改成scala花了不少功夫：
trait BootstrapSkewBinomialHeap extends Heap {
//Rooted定义了斜二项堆的元素类型
trait Rooted extends Heap {
//RootQ就是上面定义的Ra，h表示堆的类型
//当该trait和斜二项堆trait混合的时候，就表示为斜二项堆的堆类型H
//就是下面的RootedHeap
case class RootQ( x: BootstrapSkewBinomialHeap.this.A, h: H)
override type A = RootQ
object AgeOrdering extends Ordering[RootQ] {
def compare( a: RootQ, b: RootQ ) =
BootstrapSkewBinomialHeap.this.ord.compare( a.x, b.x )
}
//因为堆的元素类型变为RootQ，所以需提供相应的元素比较方法
override def ord = AgeOrdering
}
//root斜二项堆
val RootedHeap = new Rooted with SkewBinomialHeap
//表示空bootstrap堆
case class Empty( msg: String )
//bootstrap堆的定义，或者是一个空堆，或者是一个RootQ类型
//用scala的Either类型来描述
override type H = Either[Empty, RootedHeap.RootQ]
override def empty = Left( Empty( "empty" ) )
override def isEmpty( ts: H ) = ts match {
case Left( _ ) => true
case Right( _ ) => false
}
//bootstrap堆的插入操作可化为合并操作
override def insert( x: A, ts: H ): H =
meld( Right( RootedHeap.RootQ( x, RootedHeap.empty ) ), ts )
override def meld( ts1: H, ts2: H ) = ( ts1, ts2 ) match {
case ( Left( Empty( _ ) ), ts ) => ts
case ( ts, Left( Empty( _ ) ) ) => ts
case ( Right( RootedHeap.RootQ( x1, h1: RootedHeap.H ) ),
Right( RootedHeap.RootQ( x2, h2: RootedHeap.H ) ) ) =>
//当两个bootstrap堆都非空的时候
//比较两个堆的根，较小的根作为新堆的根
//根较大的堆作为元素插入到根较小的斜二项堆中
if ( ord.lteq( x1, x2 ) )
Right(RootedHeap.RootQ(x1, RootedHeap.insert(ts2.right.get, h1)))
else
Right(RootedHeap.RootQ(x2, RootedHeap.insert(ts1.right.get, h2)))
}
override def findMin( ts: H ) = ts match {
case Left( Empty( _ ) ) =>
throw new NoSuchElementException("min of empty heap")
case Right( RootedHeap.RootQ( x, h ) ) => x
}
override def deleteMin( ts: H ) = ts match {
case Left( Empty( _ ) ) =>
throw new NoSuchElementException("delete min of empty heap")
case Right( RootedHeap.RootQ( x, h ) ) =>
if ( RootedHeap.isEmpty( h ) )
Left( Empty( "no element left" ) )
else {
//先查找斜二项堆h的最小元素(y, h1)
//然后删除斜二项堆h的最小元素
//最后返回新bootstrap堆，根为y，斜二项堆为h1和h2的合并
val RootedHeap.RootQ( y, h1 ) = RootedHeap.findMin( h )
val h2 = RootedHeap.deleteMin( h )
Right( RootedHeap.RootQ( y, RootedHeap.meld( h1, h2 ) ) )
}
}
}
另外一种定义方法：
我觉得这个表达更加清晰（新增2013-12-16）：
trait BootstrapSkewBinomialHeap extends Heap {
trait Rooted extends Heap {
//这样定义是为了将空的bootstrap堆和非空bootstrap堆统一起来
trait RootType
case class RootQ( x: BootstrapSkewBinomialHeap.this.A, h: H) extends RootType
case object Empty extends RootType
override type A = RootQ
object AgeOrdering extends Ordering[RootQ] {
def compare( a: RootQ, b: RootQ ) =
BootstrapSkewBinomialHeap.this.ord.compare( a.x, b.x )
}
override def ord = AgeOrdering
}
val RootedHeap = new Rooted with SkewBinomialHeap
//这样就不用Either来表示了
override type H = RootedHeap.RootType
//这样表示空堆更加自然和可读
override def empty = RootedHeap.Empty
override def isEmpty( ts: H ) = ts match {
case RootedHeap.Empty => true
case RootedHeap.RootQ(_, _) => false
}
override def insert( x: A, ts: H ): H =
meld( RootedHeap.RootQ( x, RootedHeap.empty ), ts )
override def meld( ts1: H, ts2: H ) = ( ts1, ts2 ) match {
case ( RootedHeap.Empty, ts ) => ts
case ( ts, RootedHeap.Empty ) => ts
case ( RootedHeap.RootQ( x1, h1: RootedHeap.H ),
RootedHeap.RootQ( x2, h2: RootedHeap.H ) ) =>
if ( ord.lteq( x1, x2 ) )
RootedHeap.RootQ(x1,RootedHeap.insert(ts2.asInstanceOf[RootedHeap.RootQ],h1))
else
RootedHeap.RootQ(x2,RootedHeap.insert(ts1.asInstanceOf[RootedHeap.RootQ],h2))
}
override def findMin( ts: H ) = ts match {
case RootedHeap.Empty =>
throw new NoSuchElementException("min of empty heap")
case RootedHeap.RootQ( x, h ) => x
}
override def deleteMin( ts: H ) = ts match {
case RootedHeap.Empty =>
throw new NoSuchElementException("delete min of empty heap")
case RootedHeap.RootQ( x, h ) =>
if ( RootedHeap.isEmpty( h ) )
RootedHeap.Empty
else {
val RootedHeap.RootQ( y, h1 ) = RootedHeap.findMin( h )
val h2 = RootedHeap.deleteMin( h )
RootedHeap.RootQ( y, RootedHeap.meld( h1, h2 ) )
}
}
}
新的定义：
这几天又学到了scala新的技巧，觉得可以运用在bootstrap堆的定义上，
其实就是个小技巧，可以让代码更简洁（新增2013-12-21）：
trait BootstrapSkewBinomialHeap extends Heap {
trait Rooted extends Heap {//。。。没有变化}
val RootedHeap = new Rooted with SkewBinomialHeap
//import 这一句就是技巧，对比上面发现
//之前表示继承RootType的RootQ和Empty前面都要加RootedHeap
//现在不用了，代码更简洁可读
import RootedHeap._
override type H = RootType
override def empty = Empty
override def isEmpty( ts: H ) = ts match {
case Empty => true
case RootQ(_, _) => false
}
override def insert( x: A, ts: H ): H = meld( RootQ( x, RootedHeap.empty ), ts )
override def meld( ts1: H, ts2: H ) = ( ts1, ts2 ) match {
case ( Empty, ts ) => ts
case ( ts, Empty ) => ts
case ( RootQ( x1, h1: RootedHeap.H ), RootQ( x2, h2: RootedHeap.H ) ) =>
if ( ord.lteq( x1, x2 ) )
RootQ( x1, RootedHeap.insert( ts2.asInstanceOf[RootQ], h1) )
else
RootQ( x2, RootedHeap.insert( ts1.asInstanceOf[RootQ], h2 ) )
}
override def findMin( ts: H ) = ts match {
case Empty => throw new NoSuchElementException("min of empty heap")
case RootQ( x, h ) => x
}
override def deleteMin( ts: H ) = ts match {
case Empty => throw new NoSuchElementException("delete min of empty heap")
case RootQ( x, h ) =>
if ( RootedHeap.isEmpty( h ) )
Empty
else {
val RootQ( y, h1 ) = RootedHeap.findMin( h )
val h2 = RootedHeap.deleteMin( h )
RootQ( y, RootedHeap.meld( h1, h2 ) )
}
}
}
测试：
测试Int类型：
object Test {
def main(args: Array[String]): Unit = {
//这里新建一个元素类型是Int的bootstrap堆
val heap = new BootstrapSkewBinomialHeap with IntHeap
//依次插入元素，其实认真观察，发现和传统的数据结构相比，
//每次操作之后原来的版本和新的版本同时存在，并不想传统的数据结构，
//更新操作之后，原来的版本就找不回来了。
val heap1 = heap.insert(1, heap.empty)
val heap2 = heap.insert(10, heap1)
val heap3 = heap.insert(-1, heap2)
val heap4 = heap.insert(-11, heap3)
val heap5 = heap.insert(3, heap4)
val heap6 = heap.insert(2, heap5)
println(s"insert number: 1, 10, -1, -11, 3, 2")
println(s" heap one findMin: ${heap.findMin(heap1)}")
println(s" heap two findMin: ${heap.findMin(heap2)}")
println(s" heap three findMin: ${heap.findMin(heap3)}")
println(s" heap four findMin: ${heap.findMin(heap4)}")
println(s" heap five findMin: ${heap.findMin(heap5)}")
println(s" heap six findMin: ${heap.findMin(heap6)}")
val meldheap26 = heap.meld(heap2, heap6)
println(s"meld heap two and six then findMin: ${heap.findMin(heap6)}")
val heap7 = heap.deleteMin(heap6)
println(s"deleteMin heap six and then findMin: ${heap.findMin(heap7)}")
val heap8 = heap.deleteMin(heap7)
println(s"deleteMin heap seven and then findMin: ${heap.findMin(heap8)}")
}
}
结果：
换String元素类型测试：
object Test {
trait StringHeap extends Heap {
override type A = String
override def ord = scala.math.Ordering.String
}
def main(args: Array[String]): Unit = {
//元素类型是String的bootstrap堆
val heap = new BootstrapSkewBinomialHeap with StringHeap
val heap1 = heap.insert("my", heap.empty)
val heap2 = heap.insert("name", heap1)
val heap3 = heap.insert("is", heap2)
val heap4 = heap.insert("ldpe2g", heap3)
val heap5 = heap.insert("hexie", heap4)
val heap6 = heap.insert("fake", heap5)
println(s"insert String: my, name, is, ldpe2g, hexie, fake")
println(s" heap one findMin: ${heap.findMin(heap1)}")
println(s" heap two findMin: ${heap.findMin(heap2)}")
println(s" heap three findMin: ${heap.findMin(heap3)}")
println(s" heap four findMin: ${heap.findMin(heap4)}")
println(s" heap five findMin: ${heap.findMin(heap5)}")
println(s" heap six findMin: ${heap.findMin(heap6)}")
val meldheap26 = heap.meld(heap2, heap6)
println(s"meld heap two and six then findMin: ${heap.findMin(heap6)}")
val heap7 = heap.deleteMin(heap6)
println(s"deleteMin heap six and then findMin: ${heap.findMin(heap7)}")
val heap8 = heap.deleteMin(heap7)
println(s"deleteMin heap seven and then findMin: ${heap.findMin(heap8)}")
}
}
结果：
