有限维度的向量空间

前面分析过了向量空间，但是线性代数的研究重点，不是任意的一个向量空间，而是有限维度的向量空间。

跨度（span）和线性无关（linear independence）

 对于(v1, . . . , vm)，给出一个线性组合~a1v1 + · · · + amvm；其中 a1, . . . , am ∈ F；

给出跨度的定义如下：

span(v1, . . . , vm) = {a1v1 + · · · + amvm : a1, . . . , am ∈ F}，注意到这里的线性组合包含了所有的线性组合。

多项式的阶数：p(z) = a0 + a1z^1 + · · · + amz^m(am != 0)为m

有限维度的向量空间是指span(v1, . . . , vm)=V,即一些向量构成的列表，能够向外扩充，使之形成一个空间（space）。

与有限维度相对应的是无限维度。span(v1, . . . , vm，. . .) 

那么什么是线性无关呢？

对于列表(v1, . . . , vm) 中的每一元素都是V中的向量，如果线性无关，那么仅有唯一的a1, . . . , am ∈ F 使得a1v1 + · · · + amvm =0 ，并且这唯一的值就是：a1 = · · · = am = 0.

又比如，线性相关的定义如下：

对于列表(v1, . . . , vm)中的每一元素都是V中的向量，如果线性相关，那么，a1, . . . , am ∈ F, 不全为0, 使得a1v1 + · · · + amvm = 0. 

所以任何包含0向量的列表一定是线性相关的。

对于有限维的向量空间很重要的一点是：线性无关的向量列表的长度小于或等于所有其他的跨度的向量列表的长度。

基

一组线性无关，且跨度出一整个线性空间的向量。

一个列表的向量：(v1, . . . , vn) 是V的基~当且仅当对于任意 v ∈ V，都可以唯一表示成这种形式： v = a1v^1 + · · · + anv^n,

维度

基的长度成为维度

dim(U1 + U2) = dim U1 + dim U2 − dim(U1 ∩ U2).