浅析SkipList跳跃表原理及代码实现

SkipList在leveldb以及lucence中都广为使用，是比较高效的数据结构。由于它的代码以及原理实现的简单性，更为人们所接受。我们首先看看SkipList的定义，为什么叫跳跃表？

“     Skip lists  are data structures  that use probabilistic  balancing rather  than  strictly  enforced balancing. As a result, the algorithms  for insertion  and deletion in skip lists  are much simpler and significantly  faster  than  equivalent  algorithms  for balanced trees.   ”

译文：跳跃表使用概率均衡技术而不是使用强制性均衡，因此，对于插入和删除结点比传统上的平衡树算法更为简洁高效。 

我们看一个图就能明白，什么是跳跃表，如图1所示：

                                                                 图1：跳跃表简单示例

如上图所示，是一个即为简单的跳跃表。传统意义的单链表是一个线性结构，向有序的链表中插入一个节点需要O(n)的时间，查找操作需要O(n)的时间。如果我们使用图1所示的跳跃表，就可以减少查找所需时间为O(n/2)，因为我们可以先通过每个节点的最上面的指针先进行查找，这样子就能跳过一半的节点。比如我们想查找19，首先和6比较，大于6之后，在和9进行比较，然后在和12进行比较......最后比较到21的时候，发现21大于19，说明查找的点在17和21之间，从这个过程中，我们可以看出，查找的时候跳过了3、7、12等点，因此查找的复杂度为O(n/2)。查找的过程如下图2：

                                                                  图2：跳跃表查找操作简单示例

其实，上面基本上就是跳跃表的思想，每一个结点不单单只包含指向下一个结点的指针，可能包含很多个指向后续结点的指针，这样就可以跳过一些不必要的结点，从而加快查找、删除等操作。对于一个链表内每一个结点包含多少个指向后续元素的指针，这个过程是通过一个随机函数生成器得到，这样子就构成了一个跳跃表。这就是为什么论文“Skip Lists : A Probabilistic Alternative to Balanced Trees ”中有“概率”的原因了，就是通过随机生成一个结点中指向后续结点的指针数目。随机生成的跳跃表可能如下图3所示：

                                                                 图3：随机生成的跳跃表

跳跃表的大体原理，我们就讲述到这里。下面我们将从如下几个方面来探讨跳跃表的操作：

1、重要数据结构定义

2、初始化表

3、查找

4、插入

5、删除

6、随机数生成器

7、释放表

8、性能比较

（一）重要数据结构定义

      从图3中，我们可以看出一个跳跃表是由结点组成，结点之间通过指针进行链接。因此我们定义如下数据结构：

1. //定义key和value的类型  
2. typedef int KeyType;  
3. typedef int ValueType;  
4.       
5. //定义结点  
6. typedef struct nodeStructure* Node;  
7. struct nodeStructure{  
8.     KeyType key;  
9.     ValueType value;  
10.     Node forward[1];  
11. };  
12.       
13. //定义跳跃表  
14. typedef struct listStructure* List;  
15. struct listStructure{  
16.     int level;  
17.     Node header;  
18. };  

每一个结点都由3部分组成，key（关键字）、value（存放的值）以及forward数组（指向后续结点的数组，这里只保存了首地址）。通过这些结点，我们就可以创建跳跃表List，它是由两个元素构成，首结点以及level（当前跳跃表内最大的层数或者高度）。这样子，基本的数据结构定义完毕了。

（二）初始化表
     初始化表主要包括两个方面，首先就是header节点和NIL结点的申请，其次就是List资源的申请。

1. void SkipList::NewList(){  
2.     //设置NIL结点  
3.     NewNodeWithLevel(0, NIL_);  
4.     NIL_->key = 0x7fffffff;  
5.     //设置链表List  
6.     list_ = (List)malloc(sizeof(listStructure));  
7.     list_->level = 0;  
8.     //设置头结点  
9.     NewNodeWithLevel(MAX_LEVEL,list_->header);  
10.     for(int i = 0; i < MAX_LEVEL; ++i){  
11.         list_->header->forward[i] = NIL_;  
12.     }  
13.     //设置链表元素的数目  
14.     size_ = 0;  
15. }  
16.   
17. void SkipList::NewNodeWithLevel(const int& level,  
18.                                 Node& node){  
19.     //新结点空间大小  
20.     int total_size = sizeof(nodeStructure) + level*sizeof(Node);  
21.     //申请空间  
22.     node = (Node)malloc(total_size);  
23.     assert(node != NULL);  
24. }  

其中，NewNodeWithLevel是申请结点（总共level层）所需的内存空间。NIL_节点会在后续全部代码实现中可以看到。

（三）查找

    查找就是给定一个key，查找这个key是否出现在跳跃表中，如果出现，则返回其值，如果不存在，则返回不存在。我们结合一个图就是讲解查找操作，如下图4所示：

                                                       图4：查找操作前的跳跃表

如果我们想查找19是否存在？如何查找呢？我们从头结点开始，首先和9进行判断，此时大于9，然后和21进行判断，小于21，此时这个值肯定在9结点和21结点之间，此时，我们和17进行判断，大于17，然后和21进行判断，小于21，此时肯定在17结点和21结点之间，此时和19进行判断，找到了。具体的示意图如图5所示：

                                                        图5：查找操作后的跳跃表

1. bool SkipList::Search(const KeyType& key,  
2.                       ValueType& value){  
3.     Node x = list_->header;  
4.     int i;  
5.     for(i = list_->level; i >= 0; --i){  
6.         while(x->forward[i]->key < key){  
7.             x = x->forward[i];  
8.         }  
9.     }  
10.     x = x->forward[0];  
11.     if(x->key == key){  
12.         value = x->value;  
13.         return true;  
14.     }else{  
15.         return false;  
16.     }  
17. }  

（四）插入

      插入包含如下几个操作：1、查找到需要插入的位置   2、申请新的结点    3、调整指针。

我们结合下图6进行讲解，查找如下图的灰色的线所示  申请新的结点如17结点所示， 调整指向新结点17的指针以及17结点指向后续结点的指针。这里有一个小技巧，就是使用update数组保存大于17结点的位置，这样如果插入17结点的话，就指针调整update数组和17结点的指针、17结点和update数组指向的结点的指针。update数组的内容如红线所示，这些位置才是有可能更新指针的位置。

   

                                                    图6：插入操作示意图

1. bool SkipList::Insert(const KeyType& key,  
2.                       const ValueType& value){  
3.     Node update[MAX_LEVEL];  
4.     int i;  
5.     Node x = list_->header;  
6.     //寻找key所要插入的位置  
7.     //保存大于key的位置信息  
8.     for(i = list_->level; i >= 0; --i){  
9.         while(x->forward[i]->key < key){  
10.             x = x->forward[i];  
11.         }  
12.   
13.         update[i] = x;  
14.     }  
15.   
16.     x = x->forward[0];  
17.     //如果key已经存在  
18.     if(x->key == key){  
19.         x->value = value;  
20.         return false;  
21.     }else{  
22.         //随机生成新结点的层数  
23.         int level = RandomLevel();  
24.         //为了节省空间，采用比当前最大层数加1的策略  
25.         if(level > list_->level){  
26.             level = ++list_->level;  
27.             update[level] = list_->header;  
28.         }  
29.         //申请新的结点  
30.         Node newNode;  
31.         NewNodeWithLevel(level, newNode);  
32.         newNode->key = key;  
33.         newNode->value = value;  
34.   
35.         //调整forward指针  
36.         for(int i = level; i >= 0; --i){  
37.             x = update[i];  
38.             newNode->forward[i] = x->forward[i];  
39.             x->forward[i] = newNode;  
40.         }  
41.           
42.         //更新元素数目  
43.         ++size_;  
44.   
45.         return true;  
46.     }  
47. }  

（五）删除

    删除操作类似于插入操作，包含如下3步：1、查找到需要删除的结点 2、删除结点  3、调整指针

                                                                             图7：删除操作示意图（感谢博主qiang.xu 来自cnblogs）

1. bool SkipList::Delete(const KeyType& key,  
2.                       ValueType& value){  
3.     Node update[MAX_LEVEL];  
4.     int i;  
5.     Node x = list_->header;  
6.     //寻找要删除的结点  
7.     for(i = list_->level; i >= 0; --i){  
8.         while(x->forward[i]->key < key){  
9.             x = x->forward[i];  
10.         }  
11.   
12.         update[i] = x;  
13.     }  
14.   
15.     x = x->forward[0];  
16.     //结点不存在  
17.     if(x->key != key){  
18.         return false;  
19.     }else{  
20.         value = x->value;  
21.         //调整指针  
22.         for(i = 0; i <= list_->level; ++i){  
23.             if(update[i]->forward[i] != x)  
24.                 break;  
25.             update[i]->forward[i] = x->forward[i];  
26.         }  
27.         //删除结点  
28.         free(x);  
29.         //更新level的值，有可能会变化，造成空间的浪费  
30.         while(list_->level > 0  
31.             && list_->header->forward[list_->level] == NIL_){  
32.             --list_->level;  
33.         }  
34.           
35.         //更新链表元素数目  
36.         --size_;  
37.   
38.         return true;  
39.     }  
40. }  

（六）随机数生成器

      再向跳跃表中插入新的结点时候，我们需要生成该结点的层数，使用的就是随机数生成器，随机的生成一个层数。这部分严格意义上讲，不属于跳跃表的一部分。随机数生成器说简单很简单，说难很也很难，看你究竟是否想生成随机的数。可以采用c语言中srand以及rand函数，也可以自己设计随机数生成器。

      此部分我们采用levelDB随机数生成器：

1. // Copyright (c) 2011 The LevelDB Authors. All rights reserved.  
2. // Use of this source code is governed by a BSD-style license that can be  
3. // found in the LICENSE file. See the AUTHORS file for names of contributors.  
4.   
5.   
6. #include <stdint.h>  
7.   
8. //typedef unsigned int           uint32_t;  
9. //typedef unsigned long long     uint64_t;  
10.   
11. // A very simple random number generator.  Not especially good at  
12. // generating truly random bits, but good enough for our needs in this  
13. // package.  
14. class Random {  
15.  private:  
16.   uint32_t seed_;  
17.  public:  
18.   explicit Random(uint32_t s) : seed_(s & 0x7fffffffu) {  
19.     // Avoid bad seeds.  
20.     if (seed_ == 0 || seed_ == 2147483647L) {  
21.       seed_ = 1;  
22.     }  
23.   }  
24.   uint32_t Next() {  
25.     static const uint32_t M = 2147483647L;   // 2^31-1  
26.     static const uint64_t A = 16807;  // bits 14, 8, 7, 5, 2, 1, 0  
27.     // We are computing  
28.     //       seed_ = (seed_ * A) % M,    where M = 2^31-1  
29.     //  
30.     // seed_ must not be zero or M, or else all subsequent computed values  
31.     // will be zero or M respectively.  For all other values, seed_ will end  
32.     // up cycling through every number in [1,M-1]  
33.     uint64_t product = seed_ * A;  
34.   
35.     // Compute (product % M) using the fact that ((x << 31) % M) == x.  
36.     seed_ = static_cast<uint32_t>((product >> 31) + (product & M));  
37.     // The first reduction may overflow by 1 bit, so we may need to  
38.     // repeat.  mod == M is not possible; using > allows the faster  
39.     // sign-bit-based test.  
40.     if (seed_ > M) {  
41.       seed_ -= M;  
42.     }  
43.     return seed_;  
44.   }  
45.   // Returns a uniformly distributed value in the range [0..n-1]  
46.   // REQUIRES: n > 0  
47.   uint32_t Uniform(int n) { return (Next() % n); }  
48.   
49.   // Randomly returns true ~"1/n" of the time, and false otherwise.  
50.   // REQUIRES: n > 0  
51.   bool OneIn(int n) { return (Next() % n) == 0; }  
52.   
53.   // Skewed: pick "base" uniformly from range [0,max_log] and then  
54.   // return "base" random bits.  The effect is to pick a number in the  
55.   // range [0,2^max_log-1] with exponential bias towards smaller numbers.  
56.   uint32_t Skewed(int max_log) {  
57.     return Uniform(1 << Uniform(max_log + 1));  
58.   }  
59. };  

其中核心的是 seed_ = (seed_ * A) % M这个函数，并且调用一次就重新更新一个种子seed。以达到随机性。

根据个人喜好，自己可以独立设计随机数生成器，只要能够返回一个随机的数字即可。

（七）释放表

      释放表的操作比较简单，只要像单链表一样释放表就可以，释放表的示意图8如下：

                                                                      图8：释放表

1. void SkipList::FreeList(){  
2.     Node p = list_->header;  
3.     Node q;  
4.     while(p != NIL_){  
5.         q = p->forward[0];  
6.         free(p);  
7.         p = q;  
8.     }  
9.     free(p);  
10.     free(list_);  
11. }  

（八）性能比较

  我们对跳跃表、平衡树等进行比较，如下图9所示：

                                                                              图9：性能比较图

从中可以看出，随机跳跃表表现性能很不错，节省了大量复杂的调节平衡树的代码。