LCS问题的两种优化

    经典的LCS问题，动归的状态转移方程如下：
   

    直接的解法：初始化二维矩阵0行0列作为边界值，按行递推出每个子问题的解，最终F[m.n]就是LCS的长度。递推过程中记录路径信息，最后在表中逆向跟踪路径即可获得LCS序列(见算法导论)。

    这个问题可以有以下两个优化：

    1).空间优化。观察状态转移方程，计算的F[i,j]时只和F[i-1,j-1]，F[i,j-1]，F[i-1,j]三个元素直接相关。仔细分析一下，在递推F[i]这一行的子问题时，只需要知道F[i-1]一行的值和当前计算的F[i,j]的前一个元素的值f[i,j-1]即可，于是空间复杂度由O(m*n)降低为O(n)。

        初始化一个长m+1全0的序列base[]，一个为0的递推前导front和一个当前计算元素pre(意义上的F[i,j])，每次计算完F[i,j]后，front的值更新到base[j-1]上，然后把pre更新到front上，然后向后扫描……注意一行最后一个元素的更新！这样迭代n次，最后base[m]的值即LCS的值！

        代码如下：       

void LCS(string a,string b)
{
	int *base=new int[b.length()+1],front=0,pre=0,k=0;
	for(int i=0;i<=b.length();i++) cout<<(base[i]=0)<<' ';
	cout<<endl;
	for(int i=1;i<=a.length();i++)
	{
		front=0;
		for(int j=1;j<=b.length();j++)
		{
			if(a[i-1]==b[j-1]) 	pre=base[j-1]+1;
			else pre=max(front,base[j]);
			base[j-1]=front;
			front=pre;
		}
		base[b.length()]=front;
		for(int j=0;j<=b.length();j++) cout<<base[j]<<' ';
		cout<<endl;
	}
	delete base;
	cout<<pre<<endl;
}

    2).获取LCS序列的方法优化。分析LCS动归的思想，发现不需要在递推过程中去记录路径信息。递推出LCS动归表后，按照动归的思路正向扫描一下表，O(n)的时间复杂度即可获得序列，方法如下：

        if(base[i][j]>base[i-1][j-1])  then print a[i-1],i++,j++  (a[i-1]的原因是串下标从0开始)                      //a[i-1]和b[j-1]匹配

        else if(base[i+1][j]>base[i][j]) then print a[i],i+=2,j++         //a[i]和b[j-1]匹配     

        else if(base[i][j+1]>base[i][j]) then print b[j],i++,j+=2        //a[i-1]和b[j]匹配

        else a++.j++

        注意如果遇到边界没有匹配完两个串，则需要沿另一条边匹配直到匹配结束

        代码写的不怎么漂亮：

void print(string a,string b)
{
	int i=1,j=1,m=a.length(),n=b.length();
	while(i<=m&&j<=n)
	{
		if(base[i][j]>base[i-1][j-1])
		{
			cout<<a[i-1]<<' ';
			i++;j++;
		}
		else
		{
			if(i==m||j==n) break;
			if(base[i+1][j]>base[i][j])
			{
				cout<<a[i+1-1]<<' ';
				i+=2;j++;
			}
			else if(base[i][j+1]>base[i][j])	 
			{
				cout<<b[j+1-1]<<' ';
				i++;j+=2;
			}
			else i++,j++;	
		}
	}
	while(i+1<=m)
	{
		if(base[i+1][j]>base[i][j])
		{
			cout<<a[i+1-1]<<' ';
			break;
		}
		i++;
	}
	while(j+1<=n)
	{
		if(base[i+1][j]>base[i][j])
		{
			cout<<b[j+1-1]<<' ';
			break;
		}
		j++;
	}
	cout<<endl;
}