Java动态规划 实现最长公共子序列以及最长公共子字符串

详见： http://blog.yemou.net/article/query/info/tytfjhfascvhzxcytp96

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

 

 

【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

求解：

 

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

 

 

回溯输出最长公共子序列过程：

 

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m * n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m * n)。

Java代码实现：

 

public class LCSProblem
{
    public static void main(String[] args)
    {
        //保留空字符串是为了getLength()方法的完整性也可以不保留
        //但是在getLength()方法里面必须额外的初始化c[][]第一个行第一列
        String[] x = {"", "A", "B", "C", "B", "D", "A", "B"};
        String[] y = {"", "B", "D", "C", "A", "B", "A"};

        int[][] b = getLength(x, y);

        Display(b, x, x.length-1, y.length-1);
    }
    /**
     * @param x
     * @param y
     * @return 返回一个记录决定搜索的方向的数组
     */
    public static int[][] getLength(String[] x, String[] y)
    {
        int[][] b = new int[x.length][y.length];
        int[][] c = new int[x.length][y.length];

        for(int i=1; i<x.length; i++)
        {
            for(int j=1; j<y.length; j++)
            {
                //对应第一个性质
                if( x[i] == y[j])
                {
                    c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                    b[i][j] = 1;
                }
                //对应第二或者第三个性质
                else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
                {
                    c[i][j] = c[i-1][j];
                    b[i][j] = 0;
                }
                //对应第二或者第三个性质
                else
                {
                    c[i][j] = c[i][j-1];
                    b[i][j] = -1;
                }
            }
        }

        return b;
    }
    //回溯的基本实现，采取递归的方式
    public static void Display(int[][] b, String[] x, int i, int j)
    {
        if(i == 0 || j == 0)
            return;

        if(b[i][j] == 1)
        {
            Display(b, x, i-1, j-1);
            System.out.print(x[i] + " ");
        }
        else if(b[i][j] == 0)
        {
            Display(b, x, i-1, j);
        }
        else if(b[i][j] == -1)
        {
            Display(b, x, i, j-1);
        }
    }
}

 

最长公共子字符串：类似最长子序列，只是公共子字符串要求必须是连续的。
java实现代码如下：

 

public class stringCompare {
    //在动态规划矩阵生成方式当中，每生成一行，前面的那一行就已经没有用了，因此这里只需使用一维数组，而不是常用的二位数组
    public static void getLCString(char[] str1, char[] str2) {
        int len1, len2;
        len1 = str1.length;
        len2 = str2.length;
        int maxLen = len1 > len2 ? len1 : len2;

        int[] max = new int[maxLen];// 保存最长子串长度的数组
        int[] maxIndex = new int[maxLen];// 保存最长子串长度最大索引的数组
        int[] c = new int[maxLen];

        int i, j;
        for (i = 0; i < len2; i++) {
            for (j = len1 - 1; j >= 0; j--) {
                if (str2[i] == str1[j]) {
                    if ((i == 0) || (j == 0))
                        c[j] = 1;
                    else
                        c[j] = c[j - 1] + 1;//此时C[j-1]还是上次循环中的值，因为还没被重新赋值
                } else {
                    c[j] = 0;
                }

                // 如果是大于那暂时只有一个是最长的,而且要把后面的清0;
                if (c[j] > max[0]) {
                    max[0] = c[j];
                    maxIndex[0] = j;

                    for (int k = 1; k < maxLen; k++) {
                        max[k] = 0;
                        maxIndex[k] = 0;
                    }
                }
                // 有多个是相同长度的子串
                else if (c[j] == max[0]) {
                    for (int k = 1; k < maxLen; k++) {
                        if (max[k] == 0) {
                            max[k] = c[j];
                            maxIndex[k] = j;
                            break; // 在后面加一个就要退出循环了
                        }
                    }
                }
            }
            for (int temp : c) {
                System.out.print(temp);
            }
            System.out.println();
        }
        //打印最长子字符串
        for (j = 0; j < maxLen; j++) {
            if (max[j] > 0) {
                System.out.println("第" + (j + 1) + "个公共子串:");
                for (i = maxIndex[j] - max[j] + 1; i <= maxIndex[j]; i++)
                    System.out.print(str1[i]);
                System.out.println(" ");
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {

        String str1 = new String("binghaven");
        String str2 = new String("jingseven");
        getLCString(str1.toCharArray(), str2.toCharArray());
    }
}

输出：

000000000
010000000
002000001
000300000
000000000
000000010
000000100
000000020
001000003
第1个公共子串:
ing 
第2个公共子串:
ven