数理逻辑之 合式公式

前面说完了命题，使用命题可以构造命题逻辑的形式语言。

首先来看合式公式。

一个合式公式可以是一个原子命题，也可以是由其他合式公式通过否定、合取、析取、蕴含得到的。

其形式如下：

Φ::=p|(┐Φ)|(Φ→Φ)|(Φ∨Φ)|(Φ∧Φ)

  其中p代表任意原子命题，::=右边的Φ代表任一个已经构造好的合式公式。

可见合式公式是我们的老朋友了。

要注意的是，如果合式公式不是一个原子命题的形式，则一定要在每一步都加括号：否定要加，合取要加、析取要加、蕴含要加。

合式公式的语法树如下：

很简单易懂吧。

其中合式公式的高度是语法树中最长路径的长度加1。

对于合式公式的一次求值，就是对它右边所有原子命题的一次赋值。赋的值只有两个选择：真和假，或者True和False，或者T和F。

还记得相继式的结构吗？我们把相继式的左边和右边称为有相继关系：

Θ1, Θ2, Θ3, …, Θn├ Ψ 

 根据相继关系，我们来定义语意继承关系：

如果某个（或某些）合式公式Θ1, Θ2, Θ3, …, Θn每次求值为T的时候都能使公式Ψ为T，则称它们之间是语意继承关系，记作

Θ1, Θ2, Θ3, …, Θn |= Ψ 

 什么意思？没看懂？因为合式公式可能由多个原子命题经过复杂的取否、合取、析取、蕴含构成，每一个原子命题的可能取值都有两个（T或者F），则所有的可能性有2^n个，n是原子命题数量。如果凡是对左边公式求值为真，总有Ψ为真，则它们就是有语意继承关系。

看一个例子：

 这个语法树中，我们把p赋值T，q赋值F，r赋值T，最后整个语法树的求值为T，标在根节点上。你能写出对应的合式公式吗？

为了不让你迷惑，我把整个的真值表都放上来吧（可能不放上来你会觉得很简单，看完这个就完全迷糊了）：

你可以自己尝试一下，看和上表的结论一直不一致。