由于受到良心谴责,(用模版AC),所以今日全日搞FFT OTZ
终于搞掂!!!!!!首先自我发泄一下!!!!!!!!!!
连续AC5次先!!!!!!!!!!
以下内容涉及暴力等18X情节,需家长陪同,纯粹9UP,有七雷同咩{= =}|||
Fast-Fourier-Transform 又称为FFT,又叫快速傅里叶转换{0 0}
系离散傅里叶正逆转换((i)DFT)ge一种算法,系由两位牛人coolkey,turkey(冰火两鸡)
提出ge一种基于分治思想ge一种算法。转换算法时间复杂度为O(nlogn)呢度
log指2ge对数,因为系点乘,所以乘法过程系O(n)。
所以成个算法时间复杂度系lim (n~>infi) O(nlogn)+O(n)+O(nlogn)=O(nlogn)
普通高精度乘法大家都知道系O(n^2)
所以快左好西多。
想深入了解FFT,首先有几样野系要先了解ge:
一,多项式ge两种表达式:
1、系数表达式(平时ge十进制数其实系一个次数界为n,x=10 ge一个表达式f(x)=a0+a1x^1+……a2x^n-1)。
instance:123==1*10^2+2*10^1+3*10^0==(1,2,3)<-呢个就系系数表达式{!__!}。
2、点值表达式(姐系将f(x)变成直角坐标系ge一个图像,取出n个点做表达式,至于点解要n个点?你可以类比下解多元方程,要解n个元,自然要n个等式咯,系咪先~)。
instance:f(x)=1*x^2+2*x^1+3*x^0
x=1,f(1)=6;x=2,f(2)=11;x=10,f(10)=123(注意到10进制数都系一点)
{(1,6),(2,11),(10,123)}<-呢个就系点值表达式咯。
二,矩阵里面ge:
1、向量(呢度ge向量……)。
2、矩阵乘法。(百度啦)
3、范德蒙德矩阵。(自己百度睇下)
4、逆矩阵*正矩阵=n*n单位矩阵
其实矩阵系同逆转换有关噶,特别系3同4,简直就系神器{>0<}Y
三,单位虚根(呢个就系FFTge关键):
定义:满足w^n=1ge复数。所以n次ge单位复根就有n个喇,距地就系e^(2*pi*ik/n),其中i为虚部果个野,k=0~n-1。呢旧野仲有周期性。
用三脚函数表示就系:e^(u*i)=cos(u)+i*sin(u) (就系用呢个表示复根咯)
虚根三神技(我系签名度提过):
1、相消引理:对任何w^(d*k)==w^(k)(姐系有周期咯)
instance:n=4,k=0~4,w^0=1,w^2=i,w^3=-i,w^4=1
2、折半引理:对任何n>0,w^(n/2)=-1(呢个就系快ge原因)。
instance:w^[(k+n/2)]*2=w^(2*k+n)=w^(2*k)*w^n=w^(2*k)=w^(k)*2(神变,甘样ge话,求出w^k就知道w^(k+n/2)喇,所以FFT就系2分法咯,hoho{^__^})
3、求和引理:对任意整数n>=1同埋吾可以比n整出ge非零整数k,有∑(j=0~n-1) w^(k*j)=0。(呢个要黎推IDFT公式ge)
四,二进制数反转置换(instance:1100->0011)(呢个系递归转递推ge关键,自己捻啦呢,可以当一条小题做,不过要做出O(logn)噶窝,唔好直接O(n^2)窝,O(n^2)你转毛啊)
计埋呢个总共都系:O(nlogn)
大家唔好觉得好深奥.其实同高数一9样……
跟住讲DFT(其实DFT同iDFT一9样ge,所以我剩系用做一个函数就得喇。):
Discrete-Fourier-Tranform(离散傅里叶变换)
姐系系数表达式同点值表达式ge互相转换。
其实都唔洗我讲,好简单:
instance:对于系数表达式(1,2,3)转 {(1,6),(2,11),(10,123)},其实就系搵左三个数代入去多项式度,就搞定喇,姐系:
(a0,a1……an-1)<->{(x1,y1),(x2,y2)……(xn-1,yn-1)}
直接拿点黎代ge话,要O(n^2)ge时间(因为n个x同n个系数相乘)
所以直接转ge话你不如返屋企拾屎好过。(OTZ)
所以为冰火两鸡就提出左FFT:
其实就系利用左虚根ge周期性同折半引理,计到一半就知道另一半,所以同快速排序一样用二分法,姐系都系O(nlogn)。
原理我理解左好耐,终于知道距搞咩……
下面比较抽象,睇唔明,系我ge错{T___T}
首先大家捻下:
将一条n界ge多项式:y(x)=a0+a1*x+a2*x^2..........+an-1*x^(n-1),按下标奇偶性分成两组:
奇数组:y1(x)=a1+a3*x+a5*x^2+.............+an-1*x^(n/2-1)
偶数组:y2(x)=a0+a2*x+a4*x^2+.............+an-2*x^(n/2-1)
所以嘛:y(x)=y1(x^2)+x*y2(x^2) .............................................................式a
系咪先,唔明自己推推咯。
跟住大家捻翻相消引理:w^k=w^(k+n/2)
所以将单位虚根w(w^n=1)代入去ge后果就系~~~~
系y(x)求n个点(w^k,y)(k=0~n-1)ge问题转化为系y1(x),y2(x)求n/2个点(w^k,y)(k=0~n/2-1)ge问题{(.)(.)}!!
如果继续分落去ge话,后果就系~~~~~~~
求n个点变成求n/2又变成求n/4个点……………………最后分到叶子节点个阵(二叉树),y(x)就系系数本身。
某SB问:但系有两个多项式窝?求两个多项式n/2个点同求一个多项式n个点唔系一9样咩?
大家请睇下推导~~~~~
式一:y(w^k)=y1(w^(k*2))+w^k*y2(w^(k*2)) (睇下式a)
式二:y(w^(k+n/2))=y1(w^(k*2+n))+w^(k+n/2)*y2(w^(k*2+n))
=y1(w^(k*2))+[-w^(k)]*y2(w^(k*2)) (睇下折半引理同相消引理)
=y1(w^(k*2))-w^(k)*y2(w^(k*2))
留意式一和二,共同拥有三样野:
y1(w^(k*2)),w^k,y2(w^(k*2)) (w^k有个名叫螺旋因子,可能卷积就好似螺旋挂)
所以我地只要求出呢三旧野,自然就知道y(w^k)同y(w^(k+n/2))喇所以真系每层只需一般计算量,有n个数,有logn层,所以FFT就系O(nlogn)喇!!!!
所以对大数a,b进行左DFT之后,就可以进行O(n)ge点乘喇~~~
点乘之后,要再进行逆转换,变翻系数表达式.
跟住讲IDFT,又叫插值。
如果大家有百度过范德蒙德矩阵(Vn)ge话,你地就会知道系数表达式同点值表达式有一个关系:
{(x1,y1),(x2,y2)……(xn-1,yn-1)}=Vn*(a0,a1,a2....an)
所以我地只需要猥琐甘将求出ge点值表达式乘以一个Vn 逆矩阵就得喇。
y*Vn^(-1)=a*Vn*Vn^(-1)=a*In=a
其中Vn^(-1)为列矩阵,In为单位矩阵.a*In其实就系行列向量ge变换。
讲左甘多废话之后,比两条式比你地:
设aj属于(a0,a1,a2....an),yk属于{(x1,y1),(x2,y2)……(xn-1,yn-1)}
正转换就系:(k=0~n-1) yk=∑(j=0~n-1) aj*w(k*j){w^n=1)}
点乘就系:sum=∑(k=0~n-1) yak*ybk
逆转换就系:(j=0~n-1) aj=(1/n)∑(k=0~n-1) yk*w(-k*j){w^n=1)}
大家注意到其实正逆转换就系a y位置互换同埋w系变左负幂,所以正逆转换其实可以用一个函数搞掂。(其实系我唔想写两个)
终于讲完鸟,下面送上我呕心沥血ge通俗易明代码(无位运算无复杂ge函数无复杂ge下标操作)
hdu 1402 AC 359ms 7136k 2277B C++ 10SGetETernal{=___=}|||
#include<cmath>
#include<string>
#include<iostream>
using namespace std;
#define pi acos(-1。0) (求圆周率)
struct complex (定义复数结构)
{
double r,i;
complex (){r=i=0.0;}
complex (double real,double image)
{
r=real;
i=image;
}
complex operator + (complex o) (定义三种虚数运算)
{
return complex(r+o.r,i+o.i);
}
complex operator - (complex o)
{
return complex(r-o.r,i-o.i);
}
complex operator * (complex o)
{
return complex(r*o.r-i*o.i,r*o.i+i*o.r);
}
}op1[200001],op2[200001];
char a[100001],b[100001];
int sum[200001]; //保存结果sum
void brc(complex *y,int l) //二进制平摊反转置换O(logn)
{
int i,j,k;
j=l/2;
for (i=1;i<l-1;i++)
{
if (i<j) swap(y[i],y[j]); //交换互为下标反转ge两个元素,(i<j)保证只交换一次
k=l/2;
while (j>=k) //由最高位检索,遇1变0(姐系加n/2)遇到0就变1,跳出,
{
j-=k;
k/=2;
}
if (j<k) j+=k;
}
}
void fft(complex *y,int l,double on) //FFT O(nlogn) 其中on=1时为DFT,on=-1时为IDFT
{
int i,j,k,m;
complex u,t;
brc(y,l); //调用反转置换
for (m=2;m<=l;m*=2) //控制层数
{
complex wn(cos(on*2*pi/m),sin(on*2*pi/m)); //初始化单位复根,每层n吾同,所以要更新咯
for (j=0;j<l;j+=m) //控制起始下表
{
complex w(1,0); //初始化螺旋因子
for (k=j;k<j+m/2;k++) //配对过程
{
u=y[k]; //u=y1(w^k) 结合上面我讲ge
t=w*y[k+m/2]; //t=w^k*y2(w^k)
y[k]=u+t; //y(w^k)=u+t
y[k+m/2]=u-t; //y(w^(k+n/2))=u-t
w=w*wn; //更新螺旋因子
} //上面操作又叫做蝴蝶操作
}
}
if (on==-1) for (i=0;i<l;i++) y[i].r/=l; //IDFT时公式ge 1/n
}
int main()
{
int l1,l2,i,l;
while (scanf("%s %s",a,b)!=EOF)
{
l1=strlen(a);
l2=strlen(b);
l=1;
while (l<l1*2 || l<l2*2) l*=2; //将次数界变成2^n,配合二分法同反转置换
for (i=0;i<l1;i++) //倒置存入,配合我后面ge进位
{
op1[i].r=a[l1-i-1]-'0';
op1[i].i=0.0;
}
for (;i<l;i++) op1[i].r=op1[i].i=0.0;//将多余次数界初始化为0
for (i=0;i<l2;i++)
{
op2[i].r=b[l2-i-1]-'0';
op2[i].i=0.0;
}
for (;i<l;i++) op2[i].r=op2[i].i=0.0;
fft(op1,l,1); //DFT(a)
fft(op2,l,1); //DFT(b)
for (i=0;i<l;i++) op1[i]=op1[i]*op2[i]; //点乘并将结果存入a
fft(op1,l,-1); //IDFT(a*b)
for (i=0;i<l;i++) sum[i]=op1[i].r+0.5; //由于FFT有精度问题,所以呢度要四舍五入
for (i=0;i<l;i++) //对sum做进位操作
{
sum[i+1]+=sum[i]/10;
sum[i]%=10;
}
l=l1+l2-1;
while (sum[l]<=0 && l>0) l--; //检索最高非零位
for (i=l;i>=0;i--) printf("%d",sum[i]); //倒序输出
printf("/n");
}
return 0;
}