信息学竞赛中的数论问题

信息学竞赛中的数论问题

• by plm

前言

什么是数论？数论到底是什么？
信息学竞赛中的数论主要是整除，同余，互质等方面的问题。
我默认你们已经了解：

• 模、同余

• 最大公约数、最小公倍数，注意(k,0)=k

• 质数、互质

• 唯一分解定理（抑或是公理？）

提出一个问题

我们让d=(a,b)

，是否存在x,y

,使得ax+by=d

呢？
其实这是可以直接构造一组解的，这里就不多说了，上网搜索“裴蜀定理”即可。

拓展欧几里得算法

现在我们知道x,y

一定是存在的，那么怎样才能将其中一组解求出来呢？暴力枚举？那是O(n)

的，太慢了。
对于方程

ax+by=(a,b)

我们令d=amodb

，且bx′+dy′=(b,d)

，因为

(a,b)=(b,d)

所以

ax+by=bx′+dy′

令e=[a/b]，则有a=eb+d

，所以 

(eb+d)x+by=bx′+dy′

化简得

b(x′−y−ex)=d(x−y′)

显然我们应该让x′−y−ex=0,x−y′=0，解得 

x=y′,y=x′−ey′

于是我们可以设计一个函数exgcd(a,b)

，当b=0

时直接出解，否则递归计算gcd(b,amodb)

，得到x′,y′

，再计算x,y

。

素数筛法

感觉无聊了？讲点别的吧，比如说素数筛法。
先讲一讲最简单的素数筛法吧。。
弄一个大的数组，ai

是true就代表i是质数，否则是合数，一开始全置为true。然后从2开始（注意不是1）往后扫，每碰到一个质数，假设是i，对于所有的i|j

，把aj

置为false。
时间复杂度是多少呢？筛掉i的倍数的时候，总共要计算ni

次，所以，总的计算次数不超过：

n(1+1/2+1/3+1/4+...+1/n)<=nln(n+1)+c

其中c是一个小常数（欧拉大大得出的结论）。
所以算法的时间复杂度为O(nlog2n)

，不算太慢啦。。最重要的是非常好写

线性素数筛法

“可是我就是想要O(n)

的算法！”——trajan
还有没有可以优化的呢？
每个数好像被筛掉了好几次。
不如这样吧：把任何一个数（包括合数）的素数倍筛掉，假设这个数是i，刚刚把它的j被筛掉，如果j|i

，那么i的倍数就不必筛下去了。
可以证明（略），每个数恰好被筛掉了一次，那么这个算法的时间复杂度为O(n)

，已经是最快的了，而且代码也不算长。

谢谢大家