Python自学笔记之函数3——递归函数

递归函数

在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自己本身，这个函数就是递归函数。

例如，用函数fact(n)表示计算阶乘n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n的过程，则

fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n

所以，fact(n)可以表示为n x fact(n-1)，只有n=1时需要特殊处理。

于是，fact(n)用递归的方式写出来就是：

def fact(n):
    if  n==1:
        return 1
    return n * fact(n - 1)

如果我们计算fact(5)，可以根据函数定义卡到如下计算过程：

===> fact(5)

===> 5 * fact(4)

===> 5 * (4 * fact(3))

===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))

===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))

===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))

===> 5 * (4 * (3 * 2))

===> 5 * (4 * 6)

===> 5 * 24

===> 120

递归函数的优点是定义简单，逻辑清楚。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。

使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的（为什么？），所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。如fact(1000)就会溢出：

>>> fact(1000)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<stdin>", line 4, in fact
  ...
  File "<stdin>", line 4, in fact
RuntimeError: maximum recursion depth exceeded

解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化，事实上尾递归和循环的效果是一样的，所以，把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。

尾递归是指，在函数返回的时候，调用自己本身，并且，return语句不能包含表达式。这样，编译器或者解释器就可以把尾递归做优化，使递归本身无论调用多少次，都只用一个栈帧，不会出现栈溢出的情况。

上面的fact(n)函数由于return n * fact(n - 1)引入了乘法表达式，所以就不是尾递归了。要改成尾递归方式，需要多一点代码，主要是把每一步的乘积传入到递归函数中：

def fact(n):
    return fact_iter(1, 1, n)
def fact_iter(product, count, max):
    if count > max:
        return product
    return fact_iter(product * count, count + 1, max)

可以看到，return fact_iter(product * count, count + 1, max)仅返回递归函数本身，product * count和count + 1在函数调用前就会被计算，不影响函数调用。

此时fact(5)对应的fact_iter(1, 1, 5)的调用如下：

===> fact_iter(1, 1, 5)

===> fact_iter(1, 2, 5)

===> fact_iter(2, 3, 5)

===> fact_iter(6, 4, 5)

===> fact_iter(24, 5, 5)

===> fact_iter(120, 6, 5)

===> 120

尾递归调用时，如果做了优化，栈不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致栈溢出。

遗憾的是，大多数编程语言没有针对尾递归做优化，Python解释器也没有做优化，所以即使把上面的fact(n)函数改成尾递归方式，也会导致栈溢出。

有一个针对尾递归优化的decorator，可以参考源码：

http://code.activestate.com/recipes/474088-tail-call-optimization-decorator/

后面会讲到如何编写decoractor。现在，只需要使用这个@tail_call_optimized，就可以顺利计算出fact(1000)。

小结

使用递归函数的优点是逻辑简单清晰，缺点是过深的调用会导致栈溢出。

针对尾递归优化的语言可以通过尾递归防止栈溢出。尾递归事实上和循环是等价的，没有循环语句的编程语言只能通过为递归实现循环。

Python标准的解释器没有针对尾递归做优化，任何递归函数都存在栈溢出的问题。