计算器 abacus 技术文档之三----自定义函数

计算器 abacus 是一个小巧却功能齐备的计算器，支持四则混合运算（包括逻辑运算），支持大量的数学函数，支持变量参与运算，支持自定义函数以扩充功能。目前版本是 2，地址：http://www.oschina.net/code/snippet_736932_13725。本文就自定义函数作一介绍。

用户可以将含有参数的表达式定义为一个新函数，以实现含参表达式的复用，对于一元二次方程求根，可以定义函数

                SolveEqution1x2p(a, b, c) = (- b + sqrt(b ^ 2 - 4 * a * c)) / (2 * a)

那么没有参数的表达式就不能定义成函数吗？照样可以，只要你喜欢，假使你不喜欢使用符号常量，你仍然可以通过定义函数来使用圆周率：Pi() = 3.141593，然后在需要圆周率的地方调用它就行了。进一步，可以在已定义函数的基础上定义新的函数，比如你定义了圆的面积函数（下式中pi 是符号常量，圆周率）： 

                AreaCircle(r) = pi * r * r

就可以继续定义圆环的面积

                AreaRing(r1, r2) = AreaCircle(r1)- AreaCircle(r2)

如何，很刺激吧？我们来看一个更有趣的例子，先介绍一下程序内置的 if 条件函数

                   if(x, a, b)

这个函数有三个参数，当第一个参数 x 不为零时函数返回第二个参数 a，当第一个参数为零时返回第三个参数 b，从而实现选择的功能，实际上由于程序提供了关系运算符，我们完全可以自己来定义这个函数(下式中双等号 == 表示相等，单等号是用作赋值符号的)

                 if(x, a, b) = a + (b - a) * (x == 0)

有了这个函数，我们甚至可以写出这样的阶乘函数

                factorial(n) = if(n == 0, 1, n * factorial(n - 1))

意思是

                factorial(0) = 1, factorial(n) = n * factorial(n - 1)

这个例子是如此的特殊，在函数的定义体中居然出现了它自己，这叫做递归，实现起来并没有技术障碍。同样的方式，我们可以这样计算余弦

                cos(x) = if(abs(x) < 0.000001, 1, 2 * cos(x / 2) ^ 2 - 1) 

这个计算是近似的，当 x 充分接近 0 的时候，取 1 为它的余弦值，否则先计算它的一半的余弦，再按倍角公式计算它自己的余弦。这技术的确很诱人，但是这会导致一个问题，就是函数之间的依赖关系，这在删除函数的时候会导致问题，如果我把圆的面积函数给删除了，那前面那个圆环的面积函数还可以使用吗？有一种思路，就是在处理用户自定义函数时采用一个原则：如果在定义函数时使用了已经定义的其他函数，内部最终必须转化为只依赖于内置函数，这样，这个圆环的面积函数在经过处理后，内部事实上是

                pi * r1 * r1 - pi * r2 * r2

不过这个解决方法也是有缺陷的，首先是不支持递归，比如上面的阶乘函数将变得不可能，因为会陷入无穷替换，更严重的问题是它会导致错误信息变得不可理解，比如我们不喜欢符号常量，我们自己写一个函数来计算圆周率：Pi()，而且这个函数是有可能会计算失败的，然后定义圆的面积为

                AreaCircle(r) = Pi() * r * r

再定义圆环的面积为

                AreaRing(r1, r2)= AreaCircle(r1) - AreaCircle(r2)

那么按照前面所述的原则，在定义完成后计算器内部实际保存的是 Pi() * r1 * r1 - Pi() * r2 * r2，然后我们调用这个圆环的面积函数，可能会得出一个对函数 Pi() 的调用失败的提示，咋一看，不对呀，我们这里并没有调用函数 Pi() 呀，于是就丈二和尚摸不着头脑了。鉴于这两个原因，程序中将不采用上面这种原则，而采用构造依赖关系表来解决这个问题，每个函数在定义时将会构造一个它所依赖的函数列表（如果有递归，则对自己的依赖不会记入此列表），在删除函数的时候，会先删除依赖它的函数，包括间接依赖它的函数，然后再删除它自己。