算法设计与分析3 - 动态规划解决四柱汉诺塔问题

三、四柱汉诺塔问题

3 、四塔问题：设有 A ， B ， C ， D 四个柱子 ( 有时称塔 ) ，在 A 柱上有由小到大堆放的 n 个盘子，如图所示。

今将 A 柱上的盘子移动到 D 柱上去。可以利用 B ， C 柱作为工作栈用，移动的规则如下 :
① 每次只能移动一个盘子。
② 在移动的过程中，小盘子只能放到大盘子的上面。

设计并实现一个求解四塔问题的动态规划算法，并分析时间和空间复杂性。

 

■  算法思想:

用如下算法移动盘子(记为FourPegsHanoi):

1) 、将A柱上n个盘子划分为上下两部分，下方部分共有k(1≤k≤n)个盘子，上方部分共有n - k个盘子。

2) 、将A柱上面部分n�Ck个盘子使用FourPegsHanoi算法经过C、D柱移至B柱。

3) 、将A柱剩余的k个盘子使用ThreePegsHanoi算法经过C柱移至D柱。

4) 、将B柱上的n�Ck个盘子使用FourPegsHanoi算法经过A、C柱移至D柱。

 

ThreePegsHanoi 算法如下(设三个柱子分别为A、B、C，A柱上共有k个盘子):

1) 、将A柱上方k-1个盘子使用ThreePegsHanoi算法经过B柱移至C柱。

2) 、将C柱上最后一个盘子直接移至C盘。

3) 、将B柱上k-1个盘子使用ThreePegsHanoi算法经过A柱移至C柱。

 

 

 

■  算法步骤：

根据动态规划的四个步骤，求解如下 :

1) 、最优子结构性质:

   四柱汉诺塔问题的最优解是用最少的移动次数将A柱上的盘子全部移到D柱上。当盘子总数为i时，我们不妨设使用FourPegsHanoi的最少移动次数为f(i)。相应的ThreePegsHanoi 算法移动次数为g(k)，由于g(k)=2g(k-1)+1= 2^k -1, 当k确定时，g(k)也是不变的。

   f(i) 为最优解时，其子问题f(i-k)也必为最优解。如果f(i-k)不是最优解，那么存在f^’(i-k) < f(i-k)。用f^’(i-k)替换f(i-k)将产生一个比f(i)更优的解。这与f(i)为最优解是矛盾的。所以本问题具有最优子结构性质。

 

2) 、递归地定义问题的最优解:

根据上述FourPegsHanoi算法得到最少移动次数f(i):

3) 、自底向上地计算最优解的值 : ( 相应的 Java 源程序在 Hanoi.java 中。 )

f(i) 对应算法中的 m[i , s[i]] 。

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求四柱汉诺塔最小移动次数伪代码：

数 组下标从 0 开始，数组 m,s 大小为 n+1 。 数组 m 存储计算最小移动次数的中间值。数组 s 存储每步最小移动次数所对应的分割值 k 。

MinMovements ( n ):

      m[0,0] ← s[0] ← 0 ▹为了方便计算增加了 f(0) = m[0,s[0]] = 0   

      for i ← 1 to n

           do min ← ∞

                 for k ← 1 to i

                      do m[i , k] ← 2 * m[i �C k , s[i �C k]] + 2^k �C 1

                            if m[i , k] < min

                                  then min ← m[i , k]

                                        s[i] = k

      return m[n , s[n]] & s

4) 、根据计算信息构造最优解 :

MinMovements 求出的数组 s 中， s[i] 是 f(i) 所对应的最优分割位置。根据数组 s 来构造移动盘子的最佳序列，伪代码如下 :

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FourPegsHanoi (i , src, temp1, temp2, dest):

if i = 1

then move(src , dest)

else FourPegsHanoi(i �C s[i] , src , temp2 , dest , temp1)

ThreePegsHanoi(s[i] , src , temp2 , dest)

                  FourPegsHanoi(i �C s[i] , temp1 , src , temp2 , dest)

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ThreePegsHanoi(k , src , temp, dest):

           if k = 1

then move(src , dest)

                 else ThreePegsHanoi(k - 1, src , dest , temp)

                        move(src , dest)

                        ThreePegsHanoi(k - 1, temp , src , dest)

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■   时间空间复杂度分析 :

1 、时间复杂度

MinMovements 算法的时间复杂度为 :

T(n) = 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 = O(n²)

2 、空间复杂度

MinMovements 算法占用的空间为 m 和 s 数组的大小 :

即 (n+1)² + (n+1) = O(n²)

通过分析 m 数组中记录了一些与结果不相关的数据 , 所以通过对 MinMovements 进行改进 , 可使占用空间减小为 O(n) 。

MinMovements ( n ):

      m[0] ← s[0] ← 0      

      for i ← 1 to n

           do m[i] ← ∞

                 for k ← 1 to i

                      do q ← 2 * m[i �C k] + 2^k �C 1

                            if q < m[i]

                                  then m[i] ← q

                                        s[i] ← k

      return m[n] & s

■   算法测试

当 n=10 时，最小移动次数 49 。 移动序列如下 :

1    A->D 2    A->B 3    A->C 4    B->C 5    D->C 6    A->B 7    A->D 8    B->D 9    A->B

10  D->A 11  D->B 12  A->B 13  C->A 14  C->D 15  C->B 16  D->B 17  A->B 18  A->C 19  A->D

20  C->D 21  A->C 22  D->A 23  D->C 24  A->C 25  A->D 26  C->D 27  C->A 28  D->A 29  C->D

30  A->C 31  A->D 32  C->D 33  B->C 34  B->D 35  B->A 36  D->A 37  C->A 38  B->D 39  B->C

40  D->C 41  B->D 42  C->B 43  C->D 44  B->D 45  A->B 46  A->C 47  A->D 48  C->D 49  B->D

当 n=15 时，最小移动次数 129 。移动序列如下 :

1    A->B 2    A->C 3    A->D 4    C->D 5    B->D 6    A->C 7    A->B 8    C->B 9    A->C 10  B->A 11  B->C 12  A->C 13  D->A 14  D->B 15  D->C 16  B->C 17  A->C 18  A->D 19  A->B 20  D->B 21  A->D 22  B->A 23  B->D 24  A->D 25  A->B 26  D->B

27  D->A 28  B->A 29  D->B 30  A->D 31  A->B 32  D->B 33  C->D 34  C->B 35  C->A 36  B->A 37  D->A 38  C->B 39  C->D 40  B->D 41  C->B 42  D->C 43  D->B 44  C->B 45  A->C 46  A->D 47  A->B 48  D->B 49  C->B 50  A->D 51  A->C 52  D->C

53  A->D 54  C->A 55  C->D 56  A->D 57  A->C 58  D->C 59  D->A 60  C->A 61  D->C 62  A->D 63  A->C 64  D->C 65  A->D 66  C->A 67  C->D 68  A->D 69  C->A 70  D->C 71  D->A 72  C->A 73  C->D 74  A->D 75  A->C 76  D->C 77  A->D 78  C->A

79  C->D 80  A->D 81  B->D 82  B->A 83  B->C 84  A->C 85  D->C 86  B->A 87  B->D 88  A->D 89  B->A 90  D->B 91  D->A 92  B->A 93  C->B 94  C->D 95  C->A 96  D->A 97  B->A 98  B->C 99  B->D 100C->D 101B->C 102D->B 103D->C 104B->C

105      B->D 106      C->D 107      C->B 108      D->B 109      C->D 110    B->C 111   B->D 112    C->D 113    A->C 114    A->D 115    A->B 116    D->B 117   C->B 118    A->D 119    A->C 120      D->C 121      A->D 122      C->A 123      C->D 124      A->D 125      B->A 126      B->C 127      B->D 128      C->D 129      A->D

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