快速平方根算法

快速平方根（平方根倒数）算法
        唠叨两句：对于p4的cpu硬件都有 fsqrt 求浮点数开方指令，如果好点的支持sse的更有1可求出4个浮点数的开方指令。如果拿算法跟这些硬件指令比，算法速度肯定是不行的。但还有其他众多的cpu，对于硬件不支持的还是可以参考一下。
        的确，正如许多人所说的那样，现在有有FPU，有3DNow，有SIMD，讨论软件算法好像不合时宜。关于sqrt的话题其实早在2003年便已在  GameDev.net上得到了广泛的讨论（可见我实在非常火星了，当然不排除还有其他尚在冥王星的人，嘿嘿）。而尝试探究该话题则完全是出于本人的兴 趣和好奇心（换句话说就是无知）。
        我只是个beginner，所以这种大是大非的问题我也说不清楚（在GameDev.net上也有很多类 似的争论）。但无论如何，Carmack在DOOM3中还是使用了软件算法，而多知道一点数学知识对3D编程来说也只有好处没坏处。3D图形编程其实就是 数学，数学，还是数学。
        在3D图形编程中，经常要求平方根或平方根的倒数，例如：求向量的长度或将向量归一化。C数学函数库中的sqrt具有理想的精度，但对于3D游戏程式来说速度太慢。我们希望能够在保证足够的精度的同时，进一步提高速度。
        Carmack在QUAKE3中使用了下面的算法，它第一次在公众场合出现的时候，几乎震住了所有的人。据说该算法其实并不是Carmack发明的，它真正的作者是Nvidia的Gary Tarolli（未经证实）。
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// 计算参数x的平方根的倒数
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float InvSqrt (float x)
{
    float xhalf = 0.5f*x;
    int i = *(int*)&x;
    i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 计算第一个近似根
    x = *(float*)&i;
    x = x*(1.5f - xhalf*x*x); // 牛顿迭代法
    return x;
}
        算法的本质其实就是牛顿迭代法（Newton-Raphson Method，简称NR），而NR的基础则是泰勒级（Taylor Series）。 NR是一种求方程的近似根的方法。首先要估计一个与方程的根比较靠近的数值，然后根据公式推算下一个更加近似的数值，不断重复直到可以获得满意的精度。其公式如下：
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函数：y=f(x)
其一阶导数为：y'=f'(x)
则方程：f(x)=0 的第n+1个近似根为
x[n+1] = x[n] - f(x[n]) / f'(x[n])
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        NR最关键的地方在于估计第一个近似根。如果该近似根与真根足够靠近的话，那么只需要少数几次迭代，就可以得到满意的解。
        现在回过头来看看如何利用牛顿法来解决我们的问题。求平方根的倒数，实际就是求方程1/(x^2)-a=0的解。将该方程按牛顿迭代法的公式展开为：
        x[n+1]=1/2*x[n]*(3-a*x[n]*x[n])
        将1/2放到括号里面，就得到了上面那个函数的倒数第二行。
        接着，我们要设法估计第一个近似根。这也是上面的函数最神奇的地方。它通过某种方法算出了一个与真根非常接近的近似根，因此它只需要使用一次迭代过程就获得了较满意的解。它是怎样做到的呢？所有的奥妙就在于这一行：
         i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 计算第一个近似根
         超级莫名其妙的语句，不是吗？但仔细想一下的话，还是可以理解的。我们知道，IEEE标准下，float类型的数据在32位系统上是这样表示的（大体来说就是这样，但省略了很多细节，有兴趣可以GOOGLE）：
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bits：31 30 ... 0
31：符号位
30-23：共8位，保存指数（E）
22-0：共23位，保存尾数（M）
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        所以，32位的浮点数用十进制实数表示就是：M*2^E。开根然后倒数就是：M^(-1/2)*2^(-E/2)。现在就十分清晰了。语句i>>1其工作就是将指数除以2，实现2^(E/2)的部分。而前面用一个常数减去它，目的就是得到M^(1/2)同时反转所有指数的符号。
        至于那个0x5f3759df，呃，我只能说，的确是一个超级的Magic Number。
        那个Magic Number是可以推导出来的，但我并不打算在这里讨论，因为实在太繁琐了。简单来说，其原理如下：因为IEEE的浮点数中，尾数M省略了 最前面的1，所以实际的尾数是1+M。如果你在大学上数学课没有打瞌睡的话，那么当你看到(1+M)^(-1/2)这样的形式时，应该会马上联想的到它的 泰勒级数展开，而该展开式的第一项就是常数。下面给出简单的推导过程：
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对于实数R>0，假设其在IEEE的浮点表示中，
指数为E，尾数为M，则：
        R^(-1/2)= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)
        将(1+M)^(-1/2)按泰勒级数展开，取第一项，得：
        原式= (1-M/2) * 2^(-E/2)= 2^(-E/2) - (M/2) * 2^(-E/2)
        如果不考虑指数的符号的话，(M/2)*2^(E/2)正是(R>>1)，而在IEEE表示中，指数的符号只需简单地加上一个偏移即可，而式子的前半部分刚好是个常数，所以原式可以转化为：
        原式 = C - (M/2)*2^(E/2) = C - (R>>1)，其中C为常数
        所以只需要解方程：
        R^(-1/2)= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)= C - (R>>1)
        求出令到相对误差最小的C值就可以了
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        上面的推导过程只是我个人的理解，并未得到证实。而Chris Lomont则在他的论文中详细讨论了最后那个方程的解法，并尝试在实际的机器上寻找最佳的常数C。有兴趣的朋友可以在文末找到他的论文的链接。所以，所谓的Magic Number，并不是从N元宇宙的某个星系由于时空扭曲而掉到地球上的，而是几百年前就有的数学理论。只要熟悉NR和泰勒级数，你我同样有能力作出类似的优化。
        在GameDev.net 上有人做过测试，该函数的相对误差约为0.177585%，速度比C标准库的sqrt提高超过20%。如果增加一次迭代过程，相对误差可以降低到e- 004 的级数，但速度也会降到和sqrt差不多。据说在DOOM3中，Carmack通过查找表进一步优化了该算法，精度近乎完美，而且速度也比原版提 高了一截（正在努力弄源码，谁有发我一份）。
        值得注意的是，在Chris Lomont的演算中，理论上最优秀的常数（精度最高）是 0x5f37642f，并且在实际测试中，如果只使用一次迭代的话，其效果也是最好的。但奇怪的是，经过两次NR后，在该常数下解的精度将降低得非常厉害 （天知道是怎么回事！）。经过实际的测试，Chris Lomont认为，最优秀的常数是0x5f375a86。如果换成64位的double版本的话， 算法还是一样的，而最优常数则为0x5fe6ec85e7de30da（又一个令人冒汗的Magic Number - -b）。
        这个算法依赖于浮点数的内部表示和字节顺序，所以是不具移植性的。如果放到Mac上跑就会挂掉。如果想具备可移植性，还是乖乖用sqrt好了。但算法思想是通用的。大家可以尝试推算一下相应的平方根算法。
        下面给出Carmack在QUAKE3中使用的平方根算法。Carmack已经将QUAKE3的所有源代码捐给开源了，所以大家可以放心使用，不用担心会受到律师信。

// Carmack在QUAKE3中使用的计算平方根的函数 
float Q_rsqrt( float number )
{
    long i;
    float x2, y;
    const float threehalfs = 1.5F;

    x2 = number * 0.5F;
    y  = number;
    i  = * ( long * ) &y;                        // evil floating point bit level hacking
    i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );               // what the fuck? 
    y  = * ( float * ) &i;
    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 1st iteration
    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 2nd iteration, this can be removed ,
    //对于游戏上面这句可以屏蔽，不需要那么高的精度，反倒是速度要紧
#ifndef Q3_VM
#ifdef __linux__
    assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
#endif
#endif
    return y;
}

同样对于 double 这个魔法数是0x5fe6ec85e7de30da ,如果在单片机环境可以试试可以使用如下代码
double InvSqrt(double number)
{
    __int64 i;
    double x2, y;
    const double threehalfs = 1.5F;

    x2 = number * 0.5F;
    y  = number;
    i  = * ( __int64 * ) &y;
    i  = 0x5fe6ec85e7de30da - ( i >> 1 );
    y  = * ( double * ) &i;
    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration,

this can be removed
    return y;