数据结构笔记

 

知识:
　　1.数据结构中对象的定义,存储的表示及操作的实现.
　　2.线性:线性表、栈、队列、数组、字符串（广义表不考）
　　　树：二叉树
　　　集合：查找，排序
　　　图(不考)
能力：
　　分析，解决问题的能力
过程：
　　● 确定问题的数据。
　　● 确定数据间的关系。
　　● 确定存储结构（顺序－数组、链表－指针）
　　● 确定算法
　　● 编程
　　● 算法评价（时间和空间复杂度，主要考时间复杂度）

一、数组
　　1、存放于一个连续的空间
　　2、一维～多维数组的地址计算方式
　　　已知data[0][0]的内存地址，且已知一个元素所占内存空间Ｓ求data[i][j]在内存中的地址。
　　　公式：（add+(i*12+j)*S)(假设此数组为data[10][12])
　　注意：起始地址不是data[0][0]时候的情况。起始地址为data[-3][8]和情况；
　　3、顺序表的定义
　　　存储表示及相关操作
　　4、顺序表操作中时间复杂度估计
　　5、字符串的定义（字符串就是线性表），存储表示
　　　模式匹配算法（简单和KMP（不考））
　　6、特殊矩阵：存储方法（压缩存储（按行，按列））
　　　三对角：存储于一维数组
　　　三对角问题：已知Aij能求出在一维数组中的下标k;已知下标k求Aij。
　　7、稀疏矩阵：定义，存储方式：三元组表、十字链表（属于图部分，不考）

　　算法
　　● 数组中元素的原地逆置； 对换
　　● 在顺序表中搜索值为X的元素；
　　● 在有序表中搜索值为X的元素；（折半查找）
　　● 在顺序表中的第i个位置插入元素X；
　　● 在顺序表中的第i个位置删除元素X；
　　● 两个有序表的合并；算法？
　　线性表数据结构定义：
　　　Typedef struct {
　　　　int data[max_size];
　　　　int len;
　　　}linear_list;
　　● 模式匹配
　　● 字符串相加
　　● 求子串
　　● （i,j）<=>K 注意：不同矩阵所用的公式不同；
　　● 稀疏矩阵的转置（两种方式，后种为妙）
　　● 和数组有关的算法


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　　例程：求两个长整数之和。
　　a=13056952168
　　b=87081299
　　数组:
　　a[]:1 3 0 5 6 9 5 2 1 6 8
　　b[]:8 7 0 8 1 2 9 9
　　由于以上的结构不够直观(一般越是直观越容易解决) 将其改为:
　　a[]:11　8 6 1 2 5 9 6 5 0 3 1 a[0]=11(位数)
　　b[]: 8　9 9 2 1 8 0 7 8 0 0 0 b[0]=8
　　c进位　0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
　　c[]:11　7 6 4 3 3 0 4 4 2 3 1 c[0]的值(C位数)由c[max_s+1]决定!
　　注意:在求C前应该将C(max_s+1)位赋0.否则为随机数; 较小的整数高位赋0.
　　算法:已知a,b两个长整数,结果:c=a+b;
　　总共相加次数: max_s=max(a[],b[])
　　程序:
　　for(i=1;i<=max_s;i++) {
　　　k=a[i]+b[i]+c[i];
　　　c[i]=k%10;
　　　c[i+1]=k/10;
　　}
　　求c位数:
　　if(c[max_s+1]==0)
　　　c[0]=max_s;
　　else
　　　c[0]=max_s+1;
　　以下代码是我编的(毕竟是初学者.不太简洁大家不要见怪!):
　　/*两长整数相加*/
　　 #include<stdio.h>
　　 #include<string.h>
　　#define PRIN printf("\n");

　　int flag=0; /*a[0]>b[0]?1:0*/

　　/* max(a[],b[]) {}*/

　　change(char da[],char db[],int a[],int b[],int c[]) {
　　　int i;
　　　if(a[0]>b[0]) {
　　　　for(i=1;i<=a[0];a[i]=da[a[0]-i]-'0',i++); /*a[0]-'0' so good!*/
　　　　for(i=1;i<=b[0];b[i]=db[b[0]-i]-'0',i++);
　　　　for(i=b[0]+1;i<=a[0];b[i]=0,i++);
　　　　for(i=1;i<=a[0]+1;c[i]=0,i++);
　　　　flag=1;
　　　}
　　　else {
　　　　for(i=1;i<=b[0];b[i]=db[b[0]-i]-'0',i++);
　　　　for(i=1;i<=a[0];a[i]=da[a[0]-i]-'0',i++);
　　　　for(i=a[0]+1;i<=b[0];a[i]=0,i++);
　　　　for(i=1;i<=b[0]+1;c[i]=0,i++);
　　　}
　　}

　　add(int a[],int b[],int c[]) {
　　　int i,sum;
　　　if(flag==1) {
　　　　for(i=1;i<=a[0];i++) {
　　　　　sum=a[i]+b[i]+c[i];
　　　　　c[i+1]=sum/10;
　　　　　c[i]=sum%10;
　　　　}
　　　　if(c[a[0]+1]==0)
　　　　　c[0]=a[0];
　　　　else
　　　　　c[0]=a[0]+1;
　　　}
　　　else {
　　　　for(i=1;i<=b[0];i++) {
　　　　　sum=a[i]+b[i]+c[i];
　　　　　c[i+1]=sum/10;
　　　　　c[i]=sum%10;
　　　　}
　　　　if(c[b[0]+1]==0)
　　　　　c[0]=b[0];
　　　　else
　　　　　c[0]=b[0]+1;
　　　}
　　}

　　void print(int m[]) {
　　　int i;
　　　for(i=m[0];i>=1;i--)
　　　　printf("%d,",m[i]); PRIN
　　}

　　main(){
　　　int s;
　　　int a[20],b[20],c[20];
　　　char da[]={"123456789"};
　　　char db[]={"12344443"};
　　　a[0]=strlen(da);
　　　b[0]=strlen(db);
　　　printf("a[0]=%d\t",a[0]);
　　　printf("b[0]=%d",b[0]); PRIN
　　　change(da,db,a,b,c);
　　　printf("flag=%d\n",flag); PRIN
　　　printf("-----------------\n");
　　　if(flag==1) {
　　　　print(a); PRIN
　　　　s=abs(a[0]-b[0]);
　　　　printf("+");
　　　　　for(s=s*2-1;s>0;s--)
　　　　　　printf(" ");
　　　　　　print(b); PRIN
　　　}
　　　else {
　　　　s=abs(a[0]-b[0]);
　　　　printf("+");
　　　　for(s=s*2-1;s>0;s--)
　　　　　printf(" ");
　　　　　print(a); PRIN
　　　　　print(b); PRIN
　　　}
　　　add(a,b,c);
　　　printf("-----------------\n");
　　　print(c);
　　}

时间复杂度计算:
　　● 确定基本操作
　　● 计算基本操作次数
　　● 选择T(n)
　　● lim(F(n)/T(n))=c
　　● 0(T(n))为时间复杂度
　　上例子的时间复杂度为O(max_s);


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二:链表
　　1、知识点
　　●逻辑次序与物理次序不一致存储方法；
　　●单链表的定义：术语（头结点、头指针等）
　　●注意带头结点的单链表与不带头结点的单链表区别。（程序员考试一般不考带头结点，因为稍难理解）
　　●插入、删除、遍历（p==NULL表明操作完成）等操作
　　● 循环链表：定义，存储表示，操作；
　　● 双向链表：定义，存储方法，操作；
　　单链表和循环链表区别在最后一个指针域值不同。
　　2、操作
　　●单链表：插入X，删除X，查找X，计算结点个数
　　●单链表的逆置（中程曾考）
　　head->NULL/p->a1/p->a2/p->a3/p……an/NULL 注：p代表指针;NULL/p代表头结点
　　＝》 head->NULL/p->an/p->an-1/p->an-2/p……a1/NULL
　　●循环链表的操作：插入X，删除X，查找X，计算结点个数；
　　　　用p=head->next来判断一次计算结点个数完成；
　　程序段如下：
　　k=0;
　　do{
　　　k++;
　　　p=p->next;
　　}while(p!=head->next);
　　● 双向链表
　　●多项式相加
　　● 有序链表合并


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　　例程：已知两个字符串S，T，求S和T的最长公子串；
　　1、逻辑结构：字符串
　　2、存储结构：数组
　　3、算法：　精化（精细化工）**老顽童注：此处“精细化工”说明好像不对！
　　s="abaabcacb"
　　t="abdcabcaabcda"
　　当循环到s.len-1时，有两种情况：s="abaabcacb"、s="abaabcacb"
　　　　　　s.len-2时，有三种情况：s="abaabcacb"、s="abaabcacb"、s="abaabcacb"
　　　　　　　.
　　　　　　　.
　　　　　　　.
　　　　　　1 s.len种情况
　　程序思路：
　　tag=0 //没有找到
　　for(l=s.len;l>0&&!tag;l--) {
　　　判断长度为l的s中的子串是否为t的子串;
　　　若是：tag=1;
　　}

　　长度为l的s的子串在s中有（s.len-l+1）个。
　　子串0:　0～l-1
　　　　1:　　　　1～l
　　　　2:　　　　2～l+1
　　　　3:　　　　3～l+2
　　　　　……
　　　　　……
　　　　s.len-l:　s.len-l～s.len-1
　　由上面可得：第j个子串为j～l+j-1。

　　判断长度为l的s中的子串是否为t的子串:
　　for(j=0;j<s.len-l+1&&!tag;j++){
　　　判断s中长度为l的第j个子串是否为t的子串;
　　　如果是：tag=1;
　　}

　　模式结构：
　　tag=0;
　　for(l=s.len;l>0&&tag==0;l--) {
　　　for(j=0;j<s.len-l+1&&!tag;j++) {
　　　　?? 用模式匹配方法确定s[j]～s[l+j-1]这个字符串是否为t的子串； //好好想想
　　 　 若是，tag=1;
　　　}
　　}


第二天 时间:9/18/2003

　　转眼又过了一周了,前面一周里面我编了一些程序:链表,长整型数相加,三元组表转置以及一些简单的函数.其实有些算法想想是很简单,不过写起来还是需要一定耐心和C基础的,如果你自己觉得各算法都很懂了,不妨开机编编试试.或许会有一些新的发现与体会.
栈和队列
　　1、知识点:
　　● 栈的定义:操作受限的线性表
　　● 特点:后进先出
　　● 栈的存储结构:顺序,链接
　　　/ push(s,d)
　　● 栈的基本操作:
　　　\ pop(s)

　　栈定义：
　　struct {
　　　datatype data[max_num];
　　　int top;
　　};

　　●队列定义
　　特点:先进先出
　　/入队列 in_queue(Q,x)
　　●队列的操作:
　　\出队列 del_queue(Q)
　　●队列存储结构:
　　链队列:
　　Typedef struct node{
　　　Datatype data;
　　　Struct node *next;
　　}NODE;
　　Typedef struct {
　　　NODE *front;
　　　NODE *rear;
　　}Queue;
　　顺序队列:
　　struct {
　　　datatype data[max_num];
　　　int front,rear;
　　};
　　问题:
　　队列ó线性表
　　假溢出<=循�h队列
　　队列满，队列空条件一样<=浪费一个存储空间

　　递归
　　定义：问题规模为N的解依赖于小规模问题的解。问题的求解通过小规模问题的解得到。
　　包括二个步骤：
　　1） 递推 6!=>5!=>4!=>3!=>2!=>1!=>0!
　　2） 回归 720<=120<=24<=6 <=2 <=1 <=0
　　递归工作栈实现递归的机制。

　　2、有关算法：
　　1） 顺序，链表结构下的出栈，入栈
　　2） 循�h，队列的入队列，出队列。
　　3） 链队列的入队列，出队列。
　　4） 表达式计算：后缀表达式 35+6/4368/+*-
　　　　　　　　　　中缀表达式 （3+5）/6-4*（3+6/8）



　　由于中缀比较难处理，计算机内一般先将中缀转换为后缀。
　　运算：碰到操作数，不运算，碰到操符，运算其前两个操作数。
　　　中缀=>后缀
　　5) 迷宫问题
　　6) 线性链表的递归算法 一个链表=一个结点+一个链表
　　int fuction(NODE *p) {
　　　if(p==NULL) return 0;
　　　else return(function(p->next));
　　}

　　树与二叉树
　　一、 知识点:
　　1. 树的定义: data_struct(D,R);
　　其中:D中有一个根,把D和出度去掉,可以分成M个部分.
　　D1,D2,D3,D4,D5…DM
　　R1,R2,R3,R4,R5…RM
　　而子树Ri形成树.
　　1) 递归定义 高度


　　 2) 结点个数=1

    O    --0

O    O  --1

O  O  O  O --2


此树的高度为2


　　2.二叉树定义:
　　结点个数>=0 .
　　3. 术语:左右孩子,双亲,子树,度,高度等概念.
　　4. 二叉树的性质
　　●层次为I的二叉树 I层结点 2I 个
　　●高度为H的二叉树结点 2H+1-1个
　　●H(点)=E(边)+1
　　●个数为N的完全二叉树高度为|_LOG2n_|
　　●完全二叉树结点编号:从上到下,从左到右.

i结点的双亲: |_i/2_| |_i-1/2_|    1
i结点的左孩子: 2i 2i+1  2    3
i结点的右孩子: 2i+1 2i+2 4  5  6  7
(根) 1为起点 0为起点

　　二叉树的存储结构:
　　　　1) 扩展成为完全二叉树,以一维数组存储。

     A
  B      C
D      E  F
G  H    I

数组下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
元素 A B C D E F G H 　 　 　 　 I

　　　　2) 双亲表示法

数组下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8
元素 A B C D E F G H I
双亲 -1 0 0 1 2 2 3 3 4

　　　　3) 双亲孩子表示法

数组下标 0 1 2 3 4 5 …
元素 A B C D E F …
双亲 -1 0 0 1 2 2 …
左子 1 3 4 　 　 　 …
右子 2 -1 5 　 　 　 …

　　结构:
　　　　typedef struct {
　　　　　datatype data;
　　　　　int parent;
　　　　　int lchild;
　　　　　int rchild;
　　　　}NODE;
　　　　NODE tree[N]; // 生成N个结点的树
　　　　4) 二叉链表
　　　　5) 三叉链表
　　　　6) 哈夫曼树
　　5.二叉树的遍历
　　　先根 \
　　　中根 栈 中根遍历(左子树)根(右子树),再用相同的方法处理左子树,右子树.
　　　后根 /
　　　先,中序已知求树:先序找根,中序找确定左右子树.
　　　层次遍历(队列实现)
　　6.线索二叉树(穿线树)
　　　中序线索二树树目的:利用空指针直接得到中序遍历的结果.
　　　手段(方法):左指针为空,指向前趋,右指针为空,指向后继.
　　结点结构:

ltag Lch Data rch rtag

　　Ltag=0,lch指向左孩子,ltag=1,指向前趋结点
　　Rtag=0,rch指向右孩子;rtag=1,指向后继结点
　　中序遍历: 1) 找最左结点(其左指针为空)
　　　　2) 当该结点的rtag=1,该结点的rch指向的就为后继
　　　　3) 当rtag=0,后继元素为右子树中最左边那个
　　N个结点的二树有空指针N+1个

　　周六我去了周SIR的办公室，他很热情，我问的是中序线索化二叉树的问题(递归)，关于这个问题我会在以后的笔记中作重点补充。我在这学校从来没有碰到过像他这样热情的老师，真的，大一的时候我们学校就开了C，当时我就连#include<stdio.h>这句话的意思都不晓得，别说是让我写程序了（到这份上也不怕把丑事都抖出来了:《数据结构》的课程设计也是哈科大的littlebob兄帮我做的，很遗憾，他高程就差几分，希望他早日成功，我们都要向他学习）等于说我的C知识九成都是在大二下学期的时候学的。而且全是自学的。拿这个周末来说吧。我三天时间就看完了一本C语言大全。当然，并不是从头到尾，只是根据自己的实际情况，重点是指针和数据结构那块。C最要的便是指针。程序员考试下午试题最重要的便是递归问题（1～2道，没有掌握就没希望了哦）。我说这些并不是为了表明自己多么用功，只是希望每位"学者"都有所侧重。


第三天 时间:9/23/2003


　　排序查找是我自己觉得最头疼的算法了,常搞混去的啊.不知道各位学得如何,如果不错,还请告诉我一些经验!

查找

一、 知识点　　　　/静态查找->数组
　　1、 什么是查找
　　　　　　　　　　\动态查找->链树
　　●顺序查找，时间复杂度 O(n)
　　●折半查找：条件：有序；时间复杂度 O(nlog2n) (时间复杂度实际上是查找树的高度)
　　●索引查找：条件：第I+1块的所有元素都大于第Ｉ块的所有元素。
　　　算法：根据index来确定X所在的块（i） 时间复杂度：m/2
　　　　　　在第Ｉ块里顺序查找X　　　　 　时间复杂度：n/2
　　　总的时间复杂度：(m+n)/2
　　●二叉排序树　1）定义：左子树键值大于根节点键值；右子树键值小于根的键值，其左右子树均为二叉排序树。
　　　　　　　　　2）特点：中序遍历有序->（删除节点用到此性质）
　　　　　　　　　3）二叉排序树的查找：如果根大于要查找的树，则前左子树前进，如果根小于要查找的树，则向右子树前进。
　　　　　　　　　4）结点的插入->二叉排序树的构造方法
　　　　　　　　　5）结点删除（难点）　 1、右子树放在左子树的最右边
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2、左子树放在右子树的最左边
　　●avl树（二叉平衡树）：左右子树高度只能差１层，即｜h｜<=1其子树也一样。
　　●B树：n阶B树满足以下条件　1）每个结点（除根外）包含有N～2N个关链字。　　　　　　　　　　　　　　　　2）所有叶子节点都在同一层。
　　　　　　　　　　　　　　　　3）B树的所有子树也是一棵B树。
　　　特点：降低层次数，减少比较次数。

排序
一、知识点
　　1、排序的定义
　　　　　　　　　/内排序：只在内存中进行
　　2、排序的分类
　　　　　　　　　\外排序：与内外存进行排序
　　　内排序：　　　/直接插入排序
　　　　1）插入排序
　　　　　　　　　　\shell排序
　　　　　　　　　　/冒泡排序
　　　　2）交换排序
　　　　　　　　　　\快速排序
　　　　　　　　　　　/简单选择排序
　　　　3）选择排序 堆
　　　　　　　　　　　\ 锦标赛排序
　　　　4）归并排序（二路）
　　　　5）基数排序（多关链字排序）
　　3、时间复杂度（上午题目常考，不会求也得记住啊兄弟姐妹们！）

　　　　　　　　　* * * * * * 15 * * * 15 * * *
　　　　/稳定　　 * * * * * * * * 15 15 * * * *(前后不变)
　　排序
　　　　\ 不稳定　* * * * * * * * 15 15 * * * *(前后改变)
　　经整理得:选择、希尔、堆、快速排序是不稳定的；直接插入、冒泡、合并排序是稳定的。

　　●锦标赛排序方法：　13　　16　　11　　18　　21　　3　　17　　6
　　　　　　　　　　　　 \　　/　　　\　　/　　　\　 /　　　 \　/
　　　　　　　　　　　　　 13　　　　　11　　　　　3　　　　　 6
　　　　　　　　　　　　　　\　　　　　/　　　　　　\　　　　 /
　　　　　　　　　　　　　　　　　11　　　　　　　　　　　3
　　　　　　　　　　　　　　　　　 \　　　　　　　　　　 /
　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　3（胜出，将其拿出，并令其为正无穷&Go On）

　　●归并排序方法：　　13　　16　　11　　18　　21　　3　　17　　6
　　　　　　　　　　　　 \　　/　　　\　　/　　　\　 /　　　\　 /
　　　　　　　　　　　　　13,16　　　 11,18　　　 3,21　　　 6,17
　　　　　　　　　　　　　　\　　　　　/　　　　　　\　　　　 /
　　　　　　　　　　　　　　11,13,16,18　　　　　　　3,6,17,21
　　　　　　　　　　　　　　　　　\　　　　　　　　　　 /
　　　　　　　　　　　　　　　　　 3,6,11,13,16,17,18,21

　　●shell排序算法：1）定义一个步长（或者说增量）数组D[m]；其中：D[m-1]=1(最后一个增量必须为1，否则可能不完全)
　　　　　　　　　2）共排m趟，其中第i趟增量为D[i],把整个序列分成D[i]个子序列，分别对这D[i]个子序列进行直接插入排序。
　　　　　　 　　程序如下： for(i=0;i<m;i++)
　　　　　　　　　　　　　　{for(j=0;j<d[i];j++)
　　　　　　　　　　　　　　　{对第i个子序列进行直接插入排序；
　　　　　　　　　　　　　　　　　　注意：下标之差为D[i];
　　　　　　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　　　　　　　}

　　●快速排序　( smaller )data ( bigger )
　　　d[]　i->　13　16　11　18　21　3　17　6　24　8　<-j
　　　先从后往前找，再从前往后找。
　　　思想：空一个插入一个，i空j挪，j空i挪（这里的i,j是指i,j两指针所指的下标）。
　　　一次执行算法：1）令temp=d[0](枢纽)，i=0,j=n-1;
　　 　　　　　　　 2）奇数次时从j位置出发向前找第一个比temp小的元素，找到后放到i的位置(d[i]=d[j];i++;) i往后挪。
　　　　　　　　　　3）偶数次时从i开始往后找第一个比temp大的数，（d[j]=d[i];j--;)
　　　　　　　　　　4）当i=j时，结束循环。d[i]=temp；
　　再用递归对左右进行快速排序，因为快速排序是一个典型的递归算法。

　　●堆排序
　　　　定义：d[n]满足条件：d[i]<d[2i+1]&&d[i]<d[2i+2] 大堆（上大下小）
　　　　　　　　　　　　　　d[i]>d[2i+1]&&d[i]>d[2i+2] 小堆（上小下大）
　　　　判断是否为堆应该将其转换成树的形式。总共排序n-1次

　　调整(重点)
　　　程序: flag=0;
　　　　　　while(i<=n-1) {
　　　　　　　if(d[i]<d[2*i+1])||(d[i]<d[2*i+2]))
　　　　　　　{ if(d[2*i+1]>d[2*i+2]) 8 24 {d[i]<->d[2*i+1]; 24 21 -> 8 21
　　　　　　　　i=2*i+1;
　　　　　　　　else {
　　　　　　　　　d[i]<->d[2*i+2];
　　　　　　　　　i=2*i+2;
　　　　　　　　}
　　　　　　　}
　　　　　　　else
　　　　　　　　flag=1; //是堆
　　　　　　}

　　堆排序过程：

　　●基数排序(多关键字排序)
　　扑克: 1) 大小->分配
　　　　　2) 花色->分配,收集
　　思想:分配再收集.
　　构建链表:链表个数根据关键字取值个数有关.
　　例:将下面九个三位数排序:
　　　　321 214 665 102 874 699 210 333 600
　　　定义一个有十个元素的数组:

　　　　　　　　　　a[0] a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9]
　　　第一趟(个位): 210　321　102　333　214　665　　　　　　　　 699
　　　　　　　　　　600　　　　　　　　 874
　　　　　　　结果: 210　600　321　102　333　214　874　665　699
　　　第二趟(十位): 600　210　321　　　 333　　　 665　874　　　 699
　　　　　　　　　　102　214
　　　　　　　结果: 600　102　210　214　321　333　665　874　699
　　　第三趟(百位): 102　210　321　　　　　　600　　　 874
　　　　　　　　　　　　 214　333　　　　　　665
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 699
　　　　　　　结果: 102　210　214　321　333　600　665　699　874(排序成功)

　　最近在看一位程序员的笔记,也挺不错的啊.这应当是他的网站.他总说他的网站人气不够,现在顺便就帮他宣传一下啦！http://zhgpa.vicp.net/bbs，大家有时间多去去哦，呵呵!谢谢大伙支持！另外,还向大家推荐一个网站：http://kaowang.com/，挺不错的一个考试网站。学到不少东东啊！


八大类算法

　　程序员考试下午试题最后一道一般是八大类算法里头的.大家尤其要注意的是递归，因为近几年都考了，而且有的还考两题。可以说如果我们不掌握递归就没有掌握C，况且递归是C里的难点。为了控制合格率，程序员考试不会让我们轻松过关的，为了中国软件业，我想也应该这样啊。
　　　　/数据结构(离散)
　　迭代
　　　　\数值计算(连续)
　　枚举 策略好坏很重要
　　递推
　　递归
　　回溯
　　分治
　　贪婪
　　动态规划
　　其中：递推、递归、分治、动态规划四种算法思想基本相似。都是把大问题变成小问题，但技术上有差别。



第四天 时间:9/26/2003

枚举:
　　背包问题:
　　枚举策略：1)可能的方案：2N
　　　　　　　2)对每一方案进行判断.

　　枚举法一般流程：
　　　　while(还有其他可能方案)
　　　　{ 按某种顺序可难方案;
　　　　　检验方案;
　　　　　if(方案为解)
　　　　　　保存方案;
　　　　　}
　　　　}
　　枚举策略:
　　例：把所有排列枚举出来 P6=6!.
　　　Min:123456
　　　Max:654321
　　　a1a2a3a4a5a6=>?(下一排列)=>?
　　　比如:312654的下和种情况=>314256

递归
　　递归算法通常具有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成一些规模较小的问题，然后从这些较小问题的解能方便地构造出题目所需的解。而这些规模较小的问题也采用同样的方法分解成规模更小的问题，通过规模更小的问题构造出规模校小的问题的解，如此不断的反复分解和综合，总能分解到最简单的能直接得到解的情况。
　　因此,在解递归算法的题目时,要注意以下几点:
　　1) 找到递归调用的结束条件或继续递归调用条件.
　　2) 想方设法将处理对象的规模缩小或元素减少.
　　3) 由于递归调用可理解为并列同名函数的多次调用,而函数调用的原则是一层一层调用,一层一层返回.因此,还要注意理解调用返回后的下一个语句的作用.在一些简单的递归算法中,往往不需要考虑递调用返回后的语句处理.而在一些复杂的递归算法中,则需要考虑递归调用返回后的语句处理和进一步的递归调用.
　　4) 在读递归程序或编写递归程序时,必须要牢记递归函数的作用,这样便于理解整个函数的功能和知道哪儿需要写上递归调用语句.当然,在解递归算法的题目时,也需要分清递归函数中的内部变量和外部变量.
　　表现形式:
　　●定义是递归的(二叉树,二叉排序树)
　　●存储结构是递归的(二叉树,链表,数组)
　　●由前两种形式得出的算法是递归的
　　一般流程: function(variable list(规模为N))
　　　{ if(规模小,解已知) return 解;
　　　　else {
　　　　　把问题分成若干个部分;
　　　　　某些部分可直接得到解;
　　　　　而另一部分(规模为N-1)的解递归得到;
　　　　}
　　}
　　例1：求一个链表里的最大元素.
　　大家有没想过这个问题用递归来做呢?
　　非递归方法大家应该都会哦?
　　　　Max(nodetype *h) {
　　　　　nodetype *p;
　　　　　nodetype *q; //存放含最大值的结点
　　　　　Int max=0;
　　　　　P=h;
　　　　　While(p!=NULL){
　　　　　　if (max<p->data) {
　　　　　　　max=p->data;
　　　　　　　q=p;
　　　　　　}
　　　　　　p=p->next;
　　　　　}
　　　　　return q;
　　　　}
　　下面真经来了,嘻嘻嘻~~~
　　　　*max(nodetype *h) {
　　　　　nodetype *temp;
　　　　　temp=max(h->next);
　　　　　if(h->data>temp->data)
　　　　　　return h;
　　　　　else
　　　　　　return temp;
　　　　}
　　大家有空想想下面这个算法：求链表所有数据的平均值(我也没试过)，不许偷懒，用递归试试哦!
　　递归程序员考试题目类型：1)就是链表的某些操作(比如上面的求平均值)
　　　　　　　　　　　　　　2)二叉树(遍历等)

　　例2.判断数组元素是否递增
　　　　　int jidge(int a[],int n) {
　　　　　　if(n==1) return 1;
　　　　　　else
　　　　　　　if(a[0]>a[1]) return 0;
　　　　　　　else return jidge(a+1,n-1);
　　　　　}

　　例3.求二叉树的高度(根据二叉树的递归性质:(左子树)根(右子树))
　　　　　int depth(nodetype *root) {
　　　　　　if(root==NULL)
　　　　　　　return 0;
　　　　　　else {
　　　　　　　h1=depth(root->lch);
　　　　　　　h2=depth(root->rch);
　　　　　　　return max(h1,h2)+1;
　　　　　　}
　　　　　 }
　　自己想想求二叉树结点个数(与上例类似)

　　例4.已知中序遍历和后序遍历,求二叉树.
　　　设一二叉树的:
　　　中序 S:E D F B A G J H C I
　　　　　　^start1 ^j ^end1
　　　后序 T:E F D B J H G I C A
　　　　　　^start2 ^end2
　　　　node *create(char *s,char *t, int start1,int start2,int end1,int end2)
　　　　{ if (start1>end1) return NULL; //回归条件
　　　　　root=(node *)malloc(sizeof(node));
　　　　　root->data=t[end2];
　　　　　找到S中T[end2]的位置为 j
　　　　　root->lch=create(S,T,s1,j-1,start1,j+start2-start1-1);
　　　　　root->rch=create(S,T,j+1,end1,j+start2-start1,end2-1);
　　　　　return root;
　　　　}

　　例5.组合问题
　　　n 个数: (1,2,3,4,…n)求从中取r个数的所有组合.
　　　设n=5,r=3;
　　　递归思想：先固定一位 5 (从另四个数当中选二个)
　　　　　　　　　　　　　 5,4 (从另三个数当中选一个)
　　　　　　　　　　　　　 5,4,3 (从另二个数当中选零个)
　　　即：n-2个数中取r-2个数的所有组合
　　　　　…
　　程序:
　　　void combire(int n,int r) {
　　　　for(k=n;k>=n+r-1;k--) {
　　　　　a[r]=k;
　　　　　if(r==0) 打印a数组(表示找到一个解);
　　　　　else combire(n-1,r-1);
　　　　}
　　　}


第五天 9/28/2003


回溯法:
　　回溯跟递归都是程序员考试里常出现的问题,大家必须掌握!
　　回溯法的有关概念:
　　1) 解答树:叶子结点可能是解,对结点进行后序遍历.
　　2) 搜索与回溯
　　五个数中任选三个的解答树(解肯定有三层,至叶子结点):
　　　　　　　　　　　　　　　ROOT 虚根
　　　　　　　　/　　　　　　/　　　 |　　\　　\
　　　　　　　 1　　　　　 2　　　　 3　　4　　 5
　　　　/ 　|　 |　 \　　/ | \ 　　 /\　　|
　　　 2　　3　 4　　5　3　4　5　　4　5　 5
　　　/|\ 　/\　|　 /\　|　|
　　 3 4 5 4　5 5　4　5 5　5

　　回溯算法实现中的技巧:栈
　　要搞清回溯算法，先举一个(中序遍历二叉树的非递归算法)来说明栈在非递归中所起的作用。
　　　　　 A 过程：push()->push()->push()->push()栈内结果:ABDE(E为叶子,结束进栈)
　　　　　/ \　　　pop()　　　ABD(E无右孩子,出栈)
　　　　 B　 C　　 pop()　　　AB(D无右孩子,出栈)
　　　　/\　　　　 pop()　　　A(B有右孩子,右孩子进栈)
　　　 D　F 　　　　.　　　　　 .
　　　/　/\　　　　 . 　　　　　.
　　 E　G　H　　　　. 　　　　　.
　　/　　　　　　　 .　　　　　 .
　 I　　　　　　　 最后结果： EDBGFIHAC
　　简单算法:
　　　　…
　　　if(r!=NULL) //树不空
　　　{ while(r!=NULL)
　　　　{ push(s,r);
　　　　　r=r->lch;　　　//一直向左孩子前进
　　　　}
　　　　while(!empty(s)) // 栈非空,出栈
　　　　{ p=pop(s);
　　　　　printf(p->data);
　　　　　p=p->rch;　　　//向右孩子前进
　　　　　while(p!=NULL)
　　　　　{ push(s,p);
　　　　　　p=p->lch; //右孩子进栈
　　　　　}
　　　　}
　　　}　//这就是传说中的回溯,嘻嘻……没吓着你吧

　　5选3问题算法:
　　思想: 进栈:搜索
　　出栈:回溯
　　边建树(进栈)边遍历(出栈)
　　基本流程:
　　太复杂了,再说我不太喜欢用WORD画图（有损形象），以后再整理!

　　程序: n=5;r=3
　　　　　……
　　　　　init(s)　　//初始化栈
　　　　　push(s,1)　//根进栈
　　　　　while(s.top<r-1)&&(s.data[s.top]!=n) //有孩子
　　　　　　push(s,s.data[s.top]+1); //孩子入栈
　　　　　while(!empty(s))
　　　　　{ if(s.top=r-1)
　　　　　　判断该"解"是否为解.
　　　　　　x=pop(s); //保留x,判断是否为最大值n,如果是n,则出栈
　　　　　　while(x==n)
　　　　　　x=pop(s);
　　　　　　push(s,x+1);
　　　　　　while(s.top<r-1)&&(s.data[s.top]!=n)
　　　　　　push(s,s.data[s.top]+1);
　　　　　}

　　背包问题: TW=20 , w[5]={6,10,7,5,8}
　　解的条件:1) 该解答树的叶子结点
　　2) 重量最大
　　解答树如下：　　　ROOT
　　　　　　　/ | | | \
　　　　　　　　　 6 10　　 7　　　5　 8
　　　　　　　　/ | | \　 / | \　 / \　|
　　　　　　　 10 7 5　8 7　5　8 5　 8 8
　　　　　　　　　| |　　　　　　|
　　　　　　　　　5 8　　　　　　8
　　程序:
　　temp_w 表示栈中重量和
　　…
　　init(s); //初始化栈
　　i=0;
　　While(w[i]>TW)
　　　i++;
　　　If(i==n) Return -1; //无解
　　　Else {
　　　　Push(s,i);
　　　　Temp_w=w[i];
　　　　i++;
　　　　while(i<n)&&(temp_w+w[i]<=TW)
　　　　　{ push(s,i);
　　　　　　temp_w+=w[i];
　　　　　　i++;
　　　　}
　　　　max_w=0;
　　　　while(!empty(s))
　　　　　{ if(max_w<temp_w)
　　　　　　　max_w=temp_w;
　　　　　　　x=pop(s);
　　　　　　　temp_w-=w[x];
　　　　　　　x++;
　　　　　　　while(x<n)&&(temp_w+w[x]>TW)
　　　　　　　　x++;
　　　　　　　while(x<n)
　　　　　　　{ push(s,x);
　　　　　　　　temp_w=temp_w+w[x];
　　　　　　　　x++;
　　　　　　　　while(x<n)&&(temp_w+w[x]>TW)
　　　　　　　　x++;
　　　　　　　}
　　　　　}
　　请大家思考:四色地图问题,比如给中国地图涂色,有四种颜色,每个省选一种颜色,相邻的省不能取同样的颜色.不许偷懒，不能选人口不多于xxxxＷ的"大国"哦!如果真的有一天台x湾x独立x了，下场就是这样了，一种颜色就打发了，不过台湾的程序员们赚到了，省事！呵呵。

贪婪法:
　　不求最优解,速度快(以精确度换速度)

　　例:哈夫曼树,最小生成树

　　装箱问题:
　　有n个物品,重量分别为w[n]，要把这n个物品装入载重为TW的集装箱内,需要几个集装箱?
　　思想1:对n个物品排序
　　拿出第1个集装箱，从大到小判断能不能放。
　　2 …
　　3 …
　　. …
　　. …
　　思想2: 对n个物品排序
　　用物品的重量去判断是否需要一只新箱子，如果物品重量小于本箱子所剩的载重量,则装进去,反之则取一只新箱子。

　　程序:
　　count=1;qw[0]=TW;
　　for(i=0;i<n;i++)
　　{
　　　k=0;
　　　while(k<count)&&(w[i]>qw[k])
　　　　k++;
　　　　if(w[i]<=qw[k])
　　　　　qw[k]=qw[k]-w[i];
　　　　　code[i]=k; //第i个物品放在第k个箱子内
　　　　else
　　　　　{count++; //取一个新箱子
　　　　　　qw[count-1]=TW-w[i];
　　　　　　code[i]=count-1;
　　　　}
　　}

　　用贪婪法解背包问题:
　　n个物品，重量:w[n] 价值v[i]
　　背包限重TW，设计一个取法使得总价值最大.
　　方法:
　　　0　　1　　2　　3　…　n-1
　　　w0　 w1 　w2 　w3　…　wn-1
　　　v0　 v1 　v2 　v3　…　vn-1
　　　v0/w0　 …　　　　　v(n-1)/w(n-1) 求出各个物品的"性价比"

　　先按性价比从高到低进行排序

　　已知:w[n],v[n],TW
　　程序:
　　…
　　for(I=1;I<n;I++)
　　　d[i]=v[i]/w[i]; //求性价比
　　　for(I=0;I<n;I++)
　　　{ max=-1;
　　　　for(j=0;j<n;j++)
　　　　{ if(d[j]>max)
　　　　　{ max=d[j];x=j; }
　　　　}
　　　　e[i]=x;
　　　　d[x]=0;
　　　}
　　　temp_w=0;temp_v=0;
　　for(i=0;i<n;i++)
　　　{ if(temp_w+w[e[i]]<=TW)
　　　　　temp_v=temp_v+v[e[v]];
　　}


分治法:
　　思想:把规模为n的问题进行分解,分解成几个小规模的问题.然后在得到小规模问题的解的基础上,通过某种方法组合成该问题的解.

　　例:数轴上有n个点x[n],求距离最小的两个点.
　　分:任取一点,可以把x[i]这n个点分成两个部分
　　小的部分 分点 大的部分
　　　　|_._.__.__.____._|__._._.__._.__._______._.__._._.__.___._____._|
　　治:解=min{小的部分的距离最小值;
　　　大的部分的距离最小值;
　　　大的部分最小点和小的部分最大点这两点之差;}


第六天(想起了儿时的《最后一课》^_^) 10/7/2003


　　快考试了，老师没有多说什么，他只是给我们讲了讲近三年试题情况，并详细讲述了两道题目：一道递归，另一道回溯。不过今天不知怎么回事，我感觉特别累，也特别想睡觉。所以没什么感觉。这里就不说了，两道题目都有的，递归那题是2001年最后一题,回溯是在《程序员教程》P416，老师说高程曾经考过，有兴趣自己看看也能看懂的。老师特意为我们出了一份下午试题，我现在把他拿出来让大家参考参考。到这里，就到这里！


程序员考试下午试题（模拟）

一、把一个字符串插入到另一个字符串的某个位置（指元素个数）之后
　　char *insert(char *s，char *t，int position)
　　{ int i;
　　　char *target;
　　　if（position>strlen(t)） printf("error");
　　　else
　　　{ for (i=0;i< （1） ;i++)
　　　　{ if (i<position)
　　　　　target[i]=s[i];
　　　　　else
　　　　　{ if(i< （2） )
　　　　　　target[i]=t[i];
　　　　　　else （3） ;
　　　　　}
　　　　}
　　　}
　　　return garget;
　　}
二、辗转相除法求两个正整数的最大公约数
　　int f(int a,int b)
　　{ if (a==b) （4） ;
　　　else
　　　{ if (a>b) return f(a-b,b);
　　　　else （5） ;
　　　}
　　}
三、求一个链表的所有元素的平均值
　　typedef struct { int num;
　　　float ave;
　　}Back;
　　typedef struct node{ float data;
　　　struct node *next;
　　} Node;

　　Back *aveage（Node *head）
　　{ Back *p,*q;
　　　p=（Back *）malloc（sizeof（Back））;
　　　if （head==NULL）
　　　{ p->num=0;
　　　　p->ave=0; }
　　　else
　　　{ （6） ;
　　　　p->num=q->num+1;
　　　　（7） ; }
　　　retuen p;
　　}

　　main()
　　{ Node *h; Back *p;
　　　h=create(); /*建立以h为头指针的链表*/
　　　if (h==NULL) printf("没有元素");
　　　else { p=aveage(h);
　　　　printf("链表元素的均值为：%6f",p->ave);
　　　}
　　}
四、希尔排序
　　已知待排序序列data[n]；希尔排序的增量序列为d[m]，其中d[]序列降序排列，且d[m-1]=1。其方法是对序列进行m趟排序，在第i趟排序中，按增量d[i]把整个序列分成d[i]个子序列，并按直接插入排序的方法对每个子序列进行排序。
希尔排序的程序为：
　　void shellsort(int *data,int *d,int n,int m)
　　{ int i,j;
　　　for (i=0;i<m;i++)
　　　for (j=0; （1） ;j++)
　　　shell( （2） );
　　}

　　void shell(int *data,int d,int num,int n)
　　{ int i,j,k,temp;
　　　for (i=1; （3） ;i++)
　　　{ j=0;
　　　　temp=data[j+i*d];
　　　　while ((j<i)&&( （4） ))
　　　　j++;
　　　　for (k=j;k<i;k++)
　　　　　data[k+1]=data[k];
　　　　（5） ;
　　　　（6） }
　　}
五、求树的宽度
　　所谓宽度是指在二叉树的各层上，具有结点数最多的那一层上的结点总数。本算法是按层次遍历二叉树，采用一个队列q，让根结点入队列，最后出队列，若有左右子树，则左右子树根结点入队列，如此反复，直到队列为空。
　　int Width(BinTree *T)
　　{ int front=-1,rear=-1; /* 队列初始化*／
　　　int flag=0,count=0,p;/*p用于指向树中层的最右边的结点，flag记录层中结点数的最大值。*／
　　　if(T!=Null)
　　　{ rear++; （1） ; flag=1; p=rear;
　　　}
　　　while( （2） )
　　　{ front++;
　　　　T=q[front];
　　　　if(T->lchild!=Null)
　　　　{ rear++; （3） ; count++; } //
　　　　　if(T->rchild!=Null)
　　　　　{ rear++; q[rear]=T->rchild; （4） ; }
　　　　　if(front==p) /* 当前层已遍历完毕*/
　　　　　{ if( （5） ) flag=count; count=0; //
　　　　　　p=rear; /* p指向下一层最右边的结点*/
　　　　　}
　　　}
　　　return(flag);
　　}
六、区间覆盖
　　设在实数轴上有n个点（x0，x1，……，xn-2，xn-1），现在要求用长度为1的单位闭区间去覆盖这n个点，则需要多少个单位闭区间。
　　int cover(float x[ ], int num)
　　{ float start[num],end[num];
　　　int i ,j ,flag, count=0;
　　　for (i=0;i<num;i++)
　　　{ flag=1;
　　　　for (j=0;j< （1） ;j++)
　　　　{ if ((start[j]>x[i])&&(end[j]-x[i]<=1)) （2） ;
　　　　　else if ( （3） ) end[j]=x[i];
　　　　　else if ((x[i]>start[j])&&(x[i]<end[j])) flag=0;
　　　　　if (flag) break;
　　　　}
　　　　if ( （4） )
　　　　　{ end[count]=x[i]; （5）; count++; }
　　　}
　　　return count-1;
　　}
　　start[count]=x[i]
七、围棋中的提子
　　在围棋比赛中，某一方（假设为黑方）在棋盘的某个位置（i，j）下子后，有可能提取对方（白方的一串子）。以W[19][19]表示一个棋盘，若 W[i][j]=0表示在位置（i，j）上没有子，W[i][j]=1表示该位置上的是黑子，W[i][j]=-1表示该位置上是白子。可以用回溯法实现提子算法。
下列程序是黑棋（tag=1）下在（i，j）位置后判断是否可以吃掉某些白子，这些确定可以提掉的白子以一个线性表表示。
　　问题相应的数据结构有：
　　#define length 19 /*棋盘大小*/
　　#define max_num 361 /*棋盘中点的数量*/
　　struct position { int row; int col;
　　}; /*棋子位置*/
　　struct killed { struct position data[max_num]; int num;
　　} *p; /*存储可以吃掉的棋子位置*/
　　struct stack { struct position node[max_num]; int top;
　　}; /*栈*/
　　int w[length][length]; /*棋盘中双方的棋子分布*/
　　int visited[length][length]; /*给已搜索到的棋子位置作标记，初值为0，搜索到后为1*/

　　struct killed *kill(int w[length][length],int r,int c,int tag)
　　{ struct killed *p;
　　　struct position *s;
　　　struct stack S;
　　　for (i=0;i<length;i++)
　　　for (j=0;j<length;j++)
　　　　（1） ;
　　　S.top=-1; p->num=-1;
　　　if (w[r-1][c]==tag*(-1)) s->row=r-1; s->col=c;
　　　else if (w[r+1][c]==tag*(-1)) s->row=r+1; s->col=c;
　　　else if (w[r][c-1]==tag*(-1)) s->row=r; s->col=c-1;
　　　else if (w[r][c+1]==tag*(-1)) s->row=r; s->col=c+1;
　　　else p->len=0; return p;
　　　push(S,s); visited[s->row][s->col]=1;
　　　flag=search(s,tag);
　　　while ( （2）)
　　　{ push(S,s); visited[s->row][s->col]=1;
　　　　（3）;
　　　}
　　　while (S->top>=0)
　　　　{ pop(S);
　　　　　（4）;
　　　　　flag=search(s,tag);
　　　　　while (flag)
　　　　　{ push(S,s);
　　　　　　visit(s);
　　　　　　flag=search(s);
　　　　　}
　　　　}
　　}

　　void push( struct stack *S, struct position *s)
　　{ S->top++;
　　　S->node[S->top].row=s->row;
　　　S->node[S->top].col=s->col;
　　　p->num++;
　　　p->data[p->num].row=s->row;
　　　p->data[p->num].col=s->col;
　　}

　　void pop(struct stack *S)
　　{ S->top--;
　　}

　　struct position *gettop(struct stack *S)
　　{ struct position *s;
　　　s->row=S->data[S->top].row;
　　　s->row=S->data[S->top].row;
　　　return s;
　　}

　　int search(struct position *s,int tag)
　　{ int row,col;
　　　row=s->row; col=s->col;
　　　if (W[row+1][col]=(-1)*tag)&&(!visited[row+1][col])
　　　{ s->row=row+1;s->col=col; return 1;}
　　　if (W[row-1][col]=(-1)*tag)&&(!visited[row-1][col])
　　　{ s->row=row-1;s->col=col; return 1;}
　　　if (W[row][col+1]=(-1)*tag)&&(!visited[row][col+1])
　　　{ s->row=row;s->col=col+1; return 1;}
　　　if (W[row][col-1]=(-1)*tag)&&(!visited[row][col-1])
　　　{ s->row=row;s->col=col-1; return 1}
　　　（5）;
　　}

答案：
（1）strlen(s)+strlen(t) （2）position+strlen(t) （3）target[i]=s[i-strlen(t)]
（4）return a （5）return f(a,b-a)
（6）q=aveage(head->next)　　（7）p->ave=(head->data+q->ave*q->num)/p->num
（1）j<d[i] （2）data,d[i],j,n　（3）num+i*d<n　　（4）data[j+i*d]<temp　　（5）data[j]=temp
（1）q[rear]=T （2）front<p （3）q[rear]=T->lchild （4）count++ （5）flag<count
（1）count （2）(x[i]>end[j])&&(x[i]-start[j]<=1) （3）start[j]=x[i] （4）!flag （5）
（1）visited[i][j]=0 （2）flag　　（3）flag=search(s,tag) （4）s=gettop(S)　（5）return 0