负数的补码的一种证明方法

负数的补码的一种证明方法

　　

叶 嘉   黄珍生

（广西广播电视大学理工学院　广西南宁　530022）

 

　　[摘要]本文首先介绍了负数补码和反码的定义，并用例子验证定义的正确性，然后从负数补码、反码的定义出发，给出了负数的补码等于该负数的反码与末位加1之和这一命题的一种证明方法与验证。

　　[关键词]补码；反码；证明

　　[中图分类号] TP311.1 　[文献标识码]A　[文章编号]1008－7656(2005)03－0065－02

　

任意一个二进制数真值在计算机中用机器数来表示，最基本的机器数有三种，即原码、补码和反码。[1]在计算机的运算过程中，根据不同的运算运用不同的机器数，可以简化计算机运算过程并很快得到运算结果。如乘法和除法用原码参与运算比较方便，符号位通过异或运算即得结果的符号位；而加法与减法运算用补码参与运算比较方便，它使符号位不用单独处理，可以一起参与运算。在计算机中，三种机器数能方便、容易地进行转换，这给使用带来极大方便。其转换要点有三：

　　（1）将一个数的二进制真值的最高位置上符号位（正数用0，负数用1表示），就是这个数的原码。

　　（2）对于一个正数，其原码、补码、反码在计算机中的表示代码相同，其代码不用改变。

　　（3）对于一个负数，将原码的符号位（即二进制数的最高位，也即原码最左边的那一位）保持不变，数值位逐位取反（变为反码），末位（即最右边的那一位）加1，即得补码。也就是说，一个负数的补码等于该负数的反码与末位加1之和。[1]

　　本文要讨论的问题即第三个要点。这一要点在许多计算机原理的教材中使用，但很少见到这一命题的完整推导或证明过程，这给学生在学习本章节内容时只能被动地接受命题，不了解例题的理论依据。因此，教师在教学中适当地从理论的高度论述原码、补码和反码之间的转换关系很有必要。本文从补码、反码的定义出发，给出这一命题的简单证明，与同行分享与讨论。

　　一、对于定点负整数

　　(一)、补码的定义[2]如下：

　　[X]补=2n＋XMOD(2n)（1）

　　从定义知，一个n位二进制定点负整数，求其补码时，用2n为模数加上该负数即可。

　　例如：已知n=8，X=－1010101，则

　　[X]补=2n＋X=28＋(－1010101)

=100000000 －1010101

=10101011

　　(说明：28的二进制为100000000，简记：28的二进制为1个1后有8个0)

　　（二）、反码的定义[2]如下：

　　[X]反=(2n－1)＋X[MOD(2n－1)]……（2）

　　从定义知，一个n位定点负整数，求其反码时，用2n－1为模数加上该负数即可。

　　例如：已知n=8,X=－1010101，则

　　[X]反=(2n－1)＋X=(28－1)＋(－1010101)

　　=11111111－1010101=10101010。

　　有了以上定点负整数补码，反码的定义，我们就很容易地证明，对于任一定点负整数，其补码等于其反码末位加1。

　　由（2）式，[X]反=(2n－1)＋X，得：

　　X=[X]反－2n＋1

　　将其代入（1）式，有

　　[X]补=2n＋X

　　=2n＋[X]反－2n＋1

　　=[X]反＋1（A）

　　根据以上推导，命题对于定点负整数是成立的。

　　二、对于定点负小数

　　（一）、补码的定义[2]如下：

　　[X]补=2＋XMOD(2)（3）

　　从定义知，一个n位二进制定点负小数，求其补码时，用2为模数加上该负数即可。

　　例如：已知n=8，X=－0.1010101，则

　　[X]补=2＋X=2＋(－0.1010101)

=10 －0.1010101

=10.0000000 －0.10101011

=1.0101011

　　(说明：2的二进制为10，写成小数即10.000000[3])

　　（二）、反码的定义[2]如下：

　　[X]反=2－2－(n－1)＋X[MOD(2－2－(n－1)]（4）

　　从定义知，一个n位定点负小数，求其反码时，用2－2－(n－1)）为模数加上该负数即可。

　　例如：已知n=8,X=－0.1010101，则

　　[X]反=2－2－(n－1)＋X

=2 －2－7＋(－0.1010101)

=10 －0.0000001－0.1010101

=1.1111111 －0.1010101

=1.0101010 。

　　(说明：2－7的二进制为0.0000001，简记为：2－7的二进制为小数点后第7位为1，其余位为0。（小数点后第7位即为8位二进制负小数的最末最右的一位)[3]

　　同理，有了以上定点负小数补码，反码的定义，我们也能很容易地证明，对于任一定点负小数[4]，其补码等于其反码末位加1。

　　由（4）式，[X]反=2－2－(n－1)＋X，得：

　　X=[X]反－2＋2－(n－1)

　　将其代入（3）式，有

　　[X]补=2＋X

　　=2＋[X]反－2＋2－(n－1)

　　=[X]反＋2－(n－1)（B）

　　上式中，2－(n－1)的二进制即为小数点后第n－1位为1，其余位为0，小数点后第n－1位为1，即n位定点小数最右最末的一位为1[4]。因此上式：[X]补=[X]反＋2－(n－1)，也就是X的补码等于其反码与末位加1之和）

　　根据以上推导，命题对于定点负小数同样是成立的。

综合（A）式和（B）式，可得我们要推导证明的命题成立。

 

　

　　[参考文献]

　　[1]俸远祯.计算机组成原理与汇编语言程序设计[M].北京：中央广播电视大学出版社，2001：3.

　　[2]李明慧.计算机组成原理[M].北京：中央广播电视大学出版社，1997：10.

　　[3]白中英，韩兆轩.计算机组成原理教程[M].北京：科学出版社，1988.

　　[4]侯炳辉.计算机原理[M].北京：经济科学出版社，2000.

　　[作者简介]叶嘉，女，广西广播电视大学理工学院讲师。黄珍生，男，广西民族学院计算机与信息科学学院讲师，信息管理与信息系统教研室主任。

［责任编辑　张宜］