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启示  算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作

2.3 两种算法的比较

写一个求1+2+3+...+100结果的程序，你应该怎么写呢？

大多数人马上写出下面的C语言代码（或者其他语言的代码）

int i,sum=0,n=100;

for(i=1;i<=n;i++){

    sum = sum+i;

}

printf("  %d  ",sum);

高斯解释道

sum = 1     +2+ 3+...+99+100

sum = 100+99+98+..+2+     1

2*sum=101+101+101..+101+101(右侧有100个101)

所以sum = 10100/2 = 5050

用程序来实现如下：

int i ,sum= 0 , n = 100;

sum = (1+n) * n/2

printf("%d",sum)

 

2.4 算法的定义

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作

2.5 算法的特性

算法具有五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性

2.5.1 输入输出

算法具有零个或多个输入。算法至少有一个或多个输出

2.5.2 有穷性

有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在接受的时间内完成

2.5.3 确定性

确定性：算法的每一步骤都具有特定的含义，不会出现二义性

2.5.4 可行性

可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成

 

2.6  算法设计的要求

2.6.1  正确性

正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案

算法的“正确”通常在用法上有很大的差别，大体分为以下四个层次

1、算法程序没有语法错误

2、算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果

3、算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果

4、算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果

一般情况下，我们把层次3作为一个算法是否正确的标准

2.6.2 可读性

可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流

2.6.3 健壮性

健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或者莫名其妙的结果

2.6.4 时间效率高和存储量低

设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低得需求

 

2.7 算法效率的度量方法

2.7.1  事后统计方法

事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

但这种方法显然是有很大缺陷的：

必须依据算法事先编制好程序，这通常需要花费大量的时间和精力。

时间的比较依赖计算机硬件和软件等环境因素，有时会掩盖算法本身的优略

算法的测试数据设计困难，并且程序的运行时间往往还与测试数据的规模有很大关系，效率高的算法在小的测试数据面前往往得不到体现

2.7.2 事前分析估算方法

事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。

一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。所谓问题输入规模是指输入量的多少

两种求和算法

第一种算法

int i ，sum = 0, n = 100; /*执行1次*/

for( i = 1; i<= n;i++){ /*执行了n+1次【为啥不是n次呢】*/

        sum = sum + i; /*执行n次*/

}

printf("%d",sum);/*执行1次*/

执行了1+(n+1)+n+1=2n+3

第二种算法

int sun = 0, n = 100;/*执行一次*/

sum = (1+n)*n/2  /*执行一次*/

printf("%d",sum); /*执行一次*/

执行了1+1+1=3次

我们把循环看做一个整体，忽略头尾循环判断的开销，那么着两个算法其实就是n次与1次的差距。

我们再来延伸一下上面的这个例子

int i,j,x = 0,sum=0,n=100;/*执行一次*/

for(i=1;i<=n;i++){

      for(j=1;j<=n;j++){

          x++;  /*执行n*n*/

         sum = sum+x;

      }

}

printf("%d",sum);/*执行一次*/

这个例子中，i从1到100，每次都让j循环100次，而当中的x++和sum=sum+x；其实就是1+2+3+。。+10000，也就是100*100，所以这个算法当中，循环部分的代码整体需要执行n*n（忽略循环体头尾的开销）次。

测定运行时间最可靠的方法就是计算对运行时间有消耗的基本操作的执行次数。

最终，在分析程序的运行时间时，最重要的是把程序看成是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤

2.8 函数的渐进增长

输入规模n在没有限制的情况下，只要超过一个数值N，这个函数就总是大于另一个函数，我们称函数是渐进增长的

函数的渐近增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)

我们可以忽略这些加法常数

与最高次项相乘的常数并不重要

最高次项的指数大的，函数随着n的增长，结果页会变得增长特别快

判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以省略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数

某个算法，随着n的增大，它会越来越忧于另一算法，或者越来越差于另一算法

2.9 算法时间复杂度

2.9.1 算法时间复杂度定义

    在进行算法分析时，语句总的执行T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记做：T（n）=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数

这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法

一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法

2.9.2 推导大O阶方法

推导大O阶：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数

得到的结果就是大O阶