混沌系统解释

一混沌现象，定义及其基本特征

二混沌系统的数学模型及分析

三杜芬系统检测弱信号的思想

四混沌判别方法及混沌系统判据

五混沌系统的进一步发展

六进一步的想法和理解

 

一混沌的想象，定义及其特征

混沌并非无序，简单确定的系统不仅可以产生简单确定的行为，还可以产生貌似随机的不确定行为，即混沌行为。混沌是指确定的宏观的非线性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随机现象；是确定性与不确定性，规则性与非规则性或有序性与无序性融为一体的现象；目前在不同的学科领域里对混沌有不同的理解和表达方法，体现出在各自领域中的应用特点。

1）混沌是非线性动力系统在一定控制参数范围内产生的，对初始条件具有敏感依赖性的非周期行为的状态，处于这种行为状态的系统称为混沌系统。其中非线性是动力系统出现混沌行为最根本的条件，是系统必然要具备的因素。

（2）在决定论混沌中，混沌是一种动力学系统的演化形式。在经典

力学中，不论耗散系统还是保守系统的运动，都可用相空间中的轨迹来表示。混沌运动是确定论系统中局限于有限相空间的轨道的高度不稳定的运动。

（3）世界知名的动力气象学家，混沌理论的创立者之一Lorenz指出混沌具有三个特点

1貌似随机；

2对初始条件敏感的依赖性；

3敏感的依赖于初始条件的内在变化。

二混沌特征

（1）对初始条件的敏感依赖性
表现为对一条混沌轨道施加无穷小的扰动，则在时间演化过程中该轨道将以指数律发散的形式偏离原轨道。典型的现象是蝴蝶效应，也可用“失之毫厘，谬以千里”

（2）长期不可预测性

混沌的非线性动力学特性决定了混沌是不可以预测的，混沌对初始值的敏感性说明对其进行预测存在一定难度。对于一个混沌过程，对初始值的敏感性导致了每预测一次就会丢失一部分信息，当预测若干次后，丢失的信息越来越多，剩余的信息不足以进行合适的预测，因此混沌不适合做长期预测。

（3）分形性

分形性指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征，表示混沌运动状态具有多叶，多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。混沌的相图通常表现为复杂的结构，通过放大可以观测到自相似特征。

（4）有界性

混沌运动轨线始终局限于一个确定区域，混沌吸引子是混沌有界性的最好体现。

（5）遍历性

混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，在有限时间内混沌轨道不重复地经历吸引子内每一个状态点的邻域。

（6）混沌的运动限于有限区域且轨道永不重复

（7）具有丰富的层次和自相似结构

三Duffing系统数学模型及分析

混沌系统是由一类特殊的确定性数学模型所确定的非线性动力系统，动力系统由状态与动态特性两部分刻画。状态是指描述系统基本情况的物理参量，动态特性则是描述系统状态如何随时间变化的规则。

混沌模型的研究一方面为混沌系统理论的发展提供了理论研究模型，另一方面也为混沌信号的分析和处理以及混沌信号的应用研究奠定了基础。

四混沌系统的判据

所有混沌系统一定是非线性系统，但非线性系统不一定是混沌系统。确定一个系统是否存在混沌需要从多方面加以分析，结合定性分析系统机理和其他方法，一下简介一些常用的判别系统或时间序列是否具有混沌特性的方法。

（1）Lyapunov指数法

（2）Poincare截面法：在相空间中选取一截面，在截面上某一对共轭变量构成的截面称为Poincare截面.当Poincare截面上是一些成片的具有分形结构的密集点时，说明系统是混沌的。

（3）时域及相轨迹的直接观察方法：在时域分析里，可通过观察各个状态变量的时域波形，发现分岔和阵发性混沌。

（4）分维数：混沌运动具有某种潜在的秩序，并能以相对较少的自由度来描述。分维数给出了有关混沌的自由度的信息，分维数的具体形式有很多种

（5） Kolmogorov熵：关联维数和Kolmogorov熵的计算可以在相空间中进行，包括最小二乘法等。

（6）分形理论分析方法。

以下着重讨论杜芬系统：

（1）Duffing系统数学模型及分析

Duffing方程具体形式为

 

（1）式中，k为阻尼比；F是周期策动力幅值；是策动力角频率。

（2）广义Duffing方程是在方程等号右边加上了外加强迫项，正由于系统的本征频率与外加周期强迫项频率的相互作用，使得在该方程中，蕴含着极其丰富的内容。

（3 此系统的相变对周期小信号具有极强的敏感性，对白噪声或者与参考信号频差较大的周期干扰信号具有很强的免疫力，这就是杜芬混沌振子显著的特征，也是其检测微弱信号的基础。固定k=0.5，系统的相变比较明显，一般固定k=0.5，去改变F。F从0依次增大，混沌振子系统依次历经同宿轨道，分叉，混沌，临界周期，大尺度周期五个状态。

通过matlab工具编程可以实现杜芬系统的相轨图的变化。首先将杜芬系统改写成一个二维系统如下

（1）当F=0时，可以得到相轨图如下：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

由于相轨图只是定性的表示杜芬系统的状态，而我们也可以用李雅普诺夫指数进行定量的描述，通过matlab工具也可获得此时李雅普诺夫指数的图像，由于只要存在一个正的李雅普诺夫指数就可以说明处于混沌状态。

将系统转化成一个三维的系统，通过matlab编程可以得到此时系统对应的李雅普诺夫指数

 

先将系统写出一个三维的写成

由于这是一个三维的系统，所以应该有三个李雅普诺夫指数，也就是应该有三条曲线，分别表示三个李雅普诺夫指数。此外，从图中还可以看出不存在大于0的李雅普诺夫指数，所以系统的最终状态不是混沌状态，与应用相轨图得到的结论是一样的。

（2）当加入策动力幅值时的情况

例如取F从0开始增加取到0.66时，c取0.43，系统进入混沌状态，得到相轨图如下所示，也可以称为是奇怪吸引子

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

用李雅普诺夫指数图像验证得；

 

 

 

v 此图是如果方程变成了加上信号F*cos(c*t)后的指数，其中F=0.66，c=0.43

v 由图中可以看出，此时存在李雅普诺夫指数大于0 ，而且三个指数的和一定是负的，所以处于混沌状态，与前面的相轨图得到的结果是一样的。

 

v （3）再考虑加入一个正弦信号，从而相当于改变了周期策动力，也会是相轨图有所变化，此时加入正弦信号令此时方程变为

 

相轨图为

 

 

 

 

 

利用李雅普诺夫指数为；

 

v 总体而言，两种方法互相验证了系统处于混沌状态。然而，当改变策动力幅值时，得到一系列的相轨图，通过大量的仿真实验可以得到一下相轨图，分别为周期1，周期2，大周期运动以及混沌运动

通过综合分析可以如下结论：

v （1）策动力幅值对混沌运动有很大影响。在同一策动力频率下，随着策动力幅值的不同，动力学行为不同，表现为产生的混沌运动的相轨迹不同。

v （2）系统阻尼比k对产生混沌运动的阈值有影响。

v （3）从系统的相轨迹的变化分析中可以看出混沌系统的动力学行为对初始参数是极其敏感的，因此，可以利用待测周期信号使系统动力行为从混沌临界状态转变到大尺度周期状态的相轨迹的变化过程进行弱信号的检测。这正是利用Duffing系统进行微弱周期信号幅值检测的理论依据。

五混沌系统检测弱信号的原理

v 微弱信号的幅值小,测量时又易受传感器和测量仪器本身噪声的影响,表现出的总体现象一般是有用的被测信号被多种强信号所淹没。所以将弱信号导入混沌系统，利用混沌系统对初值的敏感性，来检测出微小幅值得存在。混沌的初值敏感性是指，只要改变混沌方程中的参数，例如策动力幅值，相轨图或者李雅普诺夫指数就有很大的变化。加入同频率的弱信号，就相当于改变了策动力的幅值了。

v 利用混沌振子检测微弱信号的基本思想是:将待测信号作为混沌系统特定参数的补充而引入混沌系统,根据系统由混沌向有序的相变,判断出待测微弱信号的存在(幅值、频率、相位等)

v 具体检测原理如下:首先在未加入待测信号之前调节系统的策动力f（注意在此处调节的是策动力f而不是阻尼k）使系统处于由混沌状态向大尺度周期状态过渡的临界状态,得到阈值fc。（其中阈值的获取可以通过Melnikov方法来获取）然后,加入同频率（是指和周期策动力的的频率相同）的待测信号αcos(t),

v 由于Duffing混沌系统对弱周期信号的敏感性,加入弱周期信号后使系统发生相变后进入大尺度周期状态(由于该混沌系统对噪声具有免疫力,故噪声并不会影响系统的相变)。这时,再次调节策动力f使得系统再次处于混沌到大尺度周期的临界状态,得到策动力fc′。待测信号的幅值α=fc-fc′。（通过比较加入信号前后策动力幅值的大小就可以得到待测信号的幅值）（一般而言弱信号的幅值也是已知的，而且不同幅值的弱信号的李雅普诺夫指数也不同）

六混沌的进一步发展空间

（1）混沌振子无法检测与其策动力频率相差较大的微弱信号，

（2）系统发生混沌行为时系统对参数的依赖性和混沌吸引子对噪声的免疫力使其在微弱信号检测方面具有很好的应用。这种检测方法主要以相轨迹从混沌状态向大尺度周期态的转变为检测依据。因此对系统相轨迹图模式的识别就可能存在误判以致带来误差。所以就需要一个合适的指标来表示混沌系统相轨迹的状态改变。所以采用李雅普诺夫指数来进行定量计算，从而能也可以很好地验证了相轨迹图的准确性）目前还没有很合适的指标。

（3）分数维也是混沌系统的一个重要指标，是否也可以通过研究分数维来进行混沌系统的判据，来研究检测弱信号。

进一步想法和发展

（1）将混沌系统的策动力幅值调到混沌状态向大周期状态过度的临界阈值，此时的阈值一般是都已经算出来的，此时加入同频率的导波信号（对噪声的免疫性），根据三角函数的计算也可以看出相当于改变了此时的策动力幅值，由于系统对初始值的敏感性，系统就会发生相轨迹的改变，从而来说明有弱信号的存在。因为对噪声的免疫性，若加入的是噪声，图像只会抖了抖。另外系统对于频率与策动力频率相差很大的信号也有免疫力，也无法进行识别。

（2）一般来说利用杜芬系统检测的都是和周期策动力频率相同的弱信号，此时若改变导波信号的幅值，产生的相轨迹是不同的，计算出的李雅普诺夫指数也是不同的。而且幅值改变很小，对系统的影响也特别大，这也是杜芬系统的初值敏感性。而且一般阻尼k是固定取0.5的。

（3）固定一个F，或者说怎么从李雅普诺夫指数的图像来求出此时对应的李雅普诺夫指数呢。由于系统最终会趋于稳定，也就是李雅普诺夫指数也会趋于一个定值，用最后稳定的那个约数来表征李雅普诺夫指数也可以，或者利用曲线的平均值来求也可以。或者利用最小二乘法进行拟合。

（4）一般来说用导波信号去识别裂纹时，是利用的已知频率的导波，一般而言，在不同的结构中利用的频率也不同，例如在板中和圆筒中都是利用的不同频率的，但是频率是已知的。波在传播过程中，传播方式有三种。其中由于外界的一些阻碍，导波信号在传播中会产生衰减，发生耗散，所以返回的波中，不确定是否有信号了。进而用混沌系统进行检测是否存在弱信号。