poj1067(博弈)

 取石子游戏

Description

有两堆石子,数量任意,可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定,每次有两种不同的取法,一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子;二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目,如果轮到你先取,假设双方都采取最好的策略,问最后你是胜者还是败者。

Input

输入包含若干行,表示若干种石子的初始情况,其中每一行包含两个非负整数a和b,表示两堆石子的数目,a和b都不大于1,000,000,000。

Output

输出对应也有若干行,每行包含一个数字1或0,如果最后你是胜者,则为1,反之,则为0。

Sample Input

2 1

8 4

4 7

Sample Output

0

1

0

 

题解:

威佐夫博奕(Wythoff Game):有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。 
     这种情况下是颇为复杂的。我们用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是: (0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)。 
     可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k,奇异局势有 
如下三条性质: 
  
     1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。 
     由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。 
     2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。 
     事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。 
     3。采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。 
  
     假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0);如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势;如果 a = ak , b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak);如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可;如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k),从第二堆里面拿走 b - bj 即可;第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走 b - aj 即可。 
  
     从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜。 
  
     那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式: 
     ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k (k=0,1,2,...,n 方括号表示取整函数) 
奇 妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1。618...,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a =[j(1+√5)/2],那么a = aj,bj = aj + j,若不等于,那么a = aj+1,bj+1 = aj+1+ j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。 

 

 

   
   
   
   
  1. #include<iostream>   
  2. #include<cstdio> 
  3. #include<cmath>   
  4. using namespace std;   
  5. int main()   
  6. {   
  7. double d = sqrt(5.0);   
  8. int m,n,t;   
  9. while(scanf("%d%d", &m, &n) != EOF)   
  10. {   
  11. if(m > n)   
  12. {   
  13. t = m;   
  14. m = n;   
  15. n = t;   
  16. }   
  17. t = n - m;   
  18. if(m == (int)(t*(1 + d) / 2))   
  19. printf("0\n");   
  20. else   
  21. printf("1\n");   
  22. }   
  23. return 0;   
  24. }  

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