poj 2533
在做这道题目之前，首先让我们了解一下什么是LIS算法，LIS俗称最长不下降子序列，最长不下降子序列是一个非常常见的小问题,首先让我们了解一下什么是LIS
一 LIS描述如下：
设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lis=<aK1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。求最大的m值。
二 对于这类的题目一般有一下两种解法：
a、O(n^2)算法，思路如下：
（a[1]...a[n] 存的都是输入的数）
1、对于a[n]来说，由于它是最后一个数，所以当从a[n]开始查找时，只存在长度为1的不下降子序列；
2、若从a[n-1]开始查找，则存在下面的两种可能性：
（1）若a[n-1] < a[n] 则存在长度为2的不下降子序列 a[n-1],a[n].
（2）若a[n-1] > a[n] 则存在长度为1的不下降子序列 a[n-1]或者a[n]。
3、一般若从a[t]开始，此时最长不下降子序列应该是按下列方法求出的：
在a[t+1],a[t+2],...a[n]中，找出一个比a[t]大的且最长的不下降子序列，作为它的后继。
4、为算法上的需要，定义一个数组：
d:array [1..n,1..3] of integer;
d[t,1]表示a[t]
d[t,2]表示从i位置到达n的最长不下降子序列的长度
d[t,3]表示从i位置开始最长不下降子序列的下一个位置
对于本题看代码如下：
// Memory Time
// 228K 16MS
//
// O(n^2)算法
#include<iostream>
using namespace std;
int main(int i,int j)
{
int n;
while(cin>>n)
{
int* sq=new int[n];
int* dp=new int[n]; //dp[i]表示以第i个位置为终点的最长不下降序列的长度
for(i=0;i<n;i++)
cin>>sq[i];
int max_length=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
dp[i]=1; //初始化dp[0]=1,其他最小值为1
for(j=0;j<i;j++)
if(sq[j]<sq[i] && dp[i]<dp[j]+1)
dp[i]=dp[j]+1;
if(max_length<dp[i])
max_length=dp[i];
}//双层for循环，算法复杂度为O（n*n）
cout<<max_length<<endl;
delete sq,dp;
}
return 0;
}
b、O（nlogn）算法
这个算法其实已经不是DP了，有点像贪心。至于复杂度降低其实是因为这个算法里面用到了二分搜索。本来有N个数要处理是O(n)，每次计算要查找N次还是O(n)，一共就是O(n^2)；现在搜索换成了O(logn)的二分搜索，总的复杂度就变为O(nlogn)了。
这个算法的具体操作如下(by RyanWang):
开一个栈，每次取栈顶元素top和读到的元素temp做比较，如果temp > top 则将temp入栈；如果temp < top则二分查找栈中的比temp大的第1个数，并用temp替换它。 最长序列长度即为栈的大小top。
这也是很好理解的，对于x和y，如果x < y且Stack[y] < Stack[x],用Stack[x]替换Stack[y]，此时的最长序列长度没有改变但序列Q的''潜力''增大了。
举例：原序列为1，5，8，3，6，7
栈为1，5，8，此时读到3，用3替换5，得到1，3，8； 再读6，用6替换8，得到1，3，6；再读7，得到最终栈为1，3，6，7。最长递增子序列为长度4。
具体看代码分析如下：
#include <iostream>
using namespace std;
const int SIZE=1001;
int main()
{
int i, j, n, top, temp;
int stack[SIZE];
cin >> n;
top = 0;
/* 第一个元素可能为0 */
stack[0] = -1;
for (i = 0; i < n; i++)
{
cin >> temp;
/* 比栈顶元素大数就入栈 */
if (temp > stack[top])
{
stack[++top] = temp;
}
else
{
int low = 1, high = top;
int mid;
/* 二分检索栈中比temp大的第一个数 */
while(low <= high)
{
mid = (low + high) / 2;
if (temp > stack[mid])
{
low = mid + 1;
}
else
{
high = mid - 1;
}
}//在这个二分的过程中降低了算法的复杂度由于是二分查找的所以为o(logn),外边有一个for循环整体为O（nlogn）
/* 用temp替换 */
stack[low] = temp;
}
}
/* 最长序列数就是栈的大小 */
cout << top << endl;
//system("pause");
return 0;
}