1.5节 卡诺图以及布尔代数（SOP，POS）part1

之前的几章里，大家已经做过不少练习了。现在大家手中的代数工具只有DeMorgen定理和推泡泡定理。那么在设计逻辑门的时候，有很多时候不止一种实现方法，各有不同的优势。那么怎样才能随心所欲的设计逻辑门电路呢。答案就是利用数学工具。数学？！头痛！没关系，只要动手做，就一定能学会。

说明一下，这里的形式采用和讲二进制时候一样。易懂而不罗嗦，以后忘了，来这一看就能想起来。

1。符号定义：和以前的规则一样 ~A 代表 “非”（NOT） A，A+B代表“A或B”（A OR B），A*B代表“A和B”（A AND B）

2. 优先权：和加减乘除类比，布尔代数优先权从高到低为NOT，AND，OR。

例Y=A+BC 等价于：Y=A+（BC）而不是Y=（A+B）C！所以括号用来改变运算优先权。

3.SOP（SumOfProduct）形式：

首先定义最小项（minterm）：真值表的每一行一定会有一个使输入以AND组合后为“真”的表达式。。。神马意思，看例子：

（1）（2）

这里minterm的组合形式均为AND的形式，观察两个例子中的输入和minterm项，无论输入是什么，minterm都是“1”（真）。

在（1）中，输出为Y为1的时候，minterm只有~AB的形式，所以第一个真值表的表达式是Y=~AB，同理第二个例子的表达式是

Y=~AB+AB。---神奇吧，再也不用一行一行看去找表达式了。没什么了，这是数学的小把戏。其实原理是这样的，我们分析真值表的

时候，只要找出当输出为1的输入组合（AND组合）就可以。因真值表枚举了所有输入进行AND的情况，只有符合Y的值的才可以入选，而逻辑运算除了只有NOT，AND，OR。而一个逻辑回路里，可以有很多输入组合其输出结果为1，所以只要把这些情况相（加）或就能得到表达式。

而（2）得到的表达式就是叫做SOP规范形式（sum of product）~~用来唬人的名字。因为式的意思是 把两个AND的结果相OR（把两个积相加）。

这里大家想起来概率的运算了吗？独立事件神马的。是的有着密切的关联!因为二进制数操作本身就是概率的操作。举例说，有8个空bits，那么我们就有8个位置去放0和1，那么总共的概率就是

2^8=256，也就是有256种放的方法，这不就是8bits的范围嘛（0~255）。所以二进制操作符合概率的计算。再举个例子，Y=~A~B~C+A~B~C+A~BC也是SOP形式。（大家改动手画它的真值表了，然后验证上面讲的！）感觉式子好长吧，画起线路图来很麻烦。

是的，我们这不是在探索捷径呢嘛~

4 POS（ProductOfSum）形式：

和SOP一样，不过先定义最大项（minterm）：真值表的每一行一定会有一个使输入以OR组合后为“假”的表达式（原理：真值表枚举了所有输入进行OR的情况，只有符合Y的值的才可以入选），看例子：

。大家自己用上面SOP的想法一步一步分析。我就不罗嗦了，不懂得留言。这个真值表的表达式即为Y=（A+B）*（~A+B）。

5.布尔代数（Boolean Algerbra）

就是和一般的加减乘除差不多，只比那个更简单。所以大家不要怕噢~。首先我要引入公理和定理的区别：公理不能被证明，而定理可以用一堆公理来证明。

其次就是双对的定义：如果1和0，AND和OR同时交换的时候，结果不变。我们说结果有双对的性质。例如：如果 ~B=1则B=0 和 如果 ~B=0则B=1 这两个描述的都是同一个事情，不过1和0交换了，就是这两个叙述成双对关系。

（如果不明白就跳过，学完之后回来再看一定会懂得）

（a）好了，现在把布尔代数中需要的定义拿出来：

。解释一下：Axiom就是事实，Dual就是从另一个方向描述事实的双对。Name就是这个公理的名字。

例如A1说的就是如果B不等于1，则B等于0.也就是说这是二进制领域（见Name）。其双对的描述就是:如果B不等于0则B一定是1.A1'和A1很对称吧~。剩下的一定要一个一个看完。要不继续讲可能会糊涂。

（b）只有一个变量的定理：

。这里T代表Theorem，也就是可以用（a）里的公理证明的！注意Name里Identity就是代表“自己运算（经过某种运算后和原来相同）”

数学里也叫 单位运算 。Null Element顾名思义 “零元素”，概念就是和任何数乘0都得0一样。0“与”任意输入都是0，而1或任意输入都是1.Idempotency就是等幂性。说的是，一个输入AND自己一下得到仍是自己，在AND一下还是自己，n次以后还是自己即B^n=B就是无论是几次乘积操作都是等同的（幂就是乘方）。Involution我们早已见过，就是求两次逆的操作。Complements就是互补，一个输入AND自己的互补结果一定是0.因为1的互补是0，0的互补是1..

好了就先写到这，下一结我们看如何如何用这些工具，以及更多变量的时候怎么处理。