欧几里德算法

辗转相除法：

其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0)//其实就是去掉因子b，这样就可以求出同样的最大公约数！

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个 公约数，则有

d|a,d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d也是（b,a mod b）的 公约数

因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

或：证明：

第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc

第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数≥cd，而非c，与前面结论矛盾】

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r），得证

以上两种方法实质一样的。

利用欧几里德算法计算公约数:

#include<stdio.h>
intgcb(intmax,intmin)//求最大公约数
{
inttemp;
while(min!=0)
{
temp=max%min;
max=min;
min=temp;
}
returnmax;
}
intmain()
{
inta,b,temp;
scanf("%d %d",&a,&b);
printf("%d",gcb(a,b));
return0;
}

利用递归的方法求最大公约数：

#include<stdio.h>
int gcb(int a,int b)//假设a比b大
{
    int temp;
    temp=a%b;
    a=b;
    b=temp;
    if(b!=0)
        return gcb(a,b);
    else
        return a;
}
int main()
{
    int a,b;
    scanf("%d %d",&a,&b);
    printf("%d",gcb(a,b));
    return 0;
}

扩展欧几里德算法
基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
证明：设 a>b。
　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
　　2，ab!=0 时
　　设 ax1+by1=gcd(a,b);
　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
代码如下：

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