数论123

同余运算的性质

1、（a+b)%n=(a%n+b%n)%n 

示例：poj2551

 

#include <stdio.h>
int main()
{
    unsigned int n;
    //stdin = fopen("data2551.txt","r");
    //freopen("data2551.txt","r",stdin);
    while(scanf("%u",&n)!=-1)
    {
        unsigned int m=1,i=1;
        for(;m;i++)
        {
            m = (m<<3)+(m<<1);
            m++;
            m%=n;
        }
        printf("%u\n",i);
    }
    return 0;
}

 

线性同余方程

ax=b(modn)

 

1：方程ax=b(mod n)对于未知量x有解，当且仅当gcd(a,n) | b。
2：方程ax=b(mod n)或者对模n有d个不同的解，其中d=gcd(a,n)，或者无解。
3：设d=gcd(a,n)，假定对整数x和y满足d=ax+by(比如用扩展Euclid算法求出的一组解)。如果d | b，则方程ax=b(mod n)有一个解x0满足x0=x*(b/d) mod n 。特别的设e=x0+n，方程ax=b(mod n)的最小整数解x1=e mod (n/d)，最大整数解x2=x1+(d-1)*(n/d)。
4：假设方程ax=b(mod n)有解，且x0是方程的任意一个解，则该方程对模n恰有d个不同的解(d=gcd(a,n))，分别为：xi=x0+i*(n/d) mod n 。

求解：（欧几里德算法）

 

 

#include <iostream>

using namespace std;

__int64 exgcd(__int64 a, __int64 b, __int64 &x, __int64 &y)

{

    if(b==0)

    {

        x=1;y=0;return a;

    }

    __int64 r=exgcd(b, a%b, x, y);

    __int64 t=x;x=y;y=t-a/b*y;

    return r;

}

int main()

{

   __int64 a,b,n,d,x,y,e;

    cin>>a>>n;

    d=exgcd(a, n, x, y);

    //ax+ny=d

    return 0;

};