Lambda Calculus（一）

Lambda演算是FP语言的核心，出于想深入的了解FP语言，于是开始啃《The Implementation of Functional Programming Languages》，希望可以坚持下去。Lambda演算在我理解，就是一系列的运算法则，就比如，在数学里面，向量的某些运算法则一样。

Lambda Expression

就举书上的例子：(+ 4 5)就是一个简单的Lambda表达式。Lambda表达式都是写出前缀的形式，且括号同样表示着高优先级。函数语言程序的实现总是被认为是一个表达式，通过计算出其值来执行他。

Some Build-in Functions

这里介绍一些内置函数：

1. 内置常数：1,2,3,4,5,6…… TRUE FALSE
2. 逻辑函数 OR AND NOT
3. IF
4. CONS a b：CONS是construct的缩写，表明会建立一个a b pair的数据
5. HEAD 接受一个 CONS a b，且返回a
6. TAIL 接受一个CONS a b，且返回b

Curring

在C语言中，我们常常会有多参数函数，比如int sum(a,b)表示a+b的一个函数。我们可以把+当做是一个有两个参数的函数，比如(+ 4 5)就表示把函数+应用到4和5上，结果就是9。在Lambda演算中，每个函数只有一个参数，那么，该如何表示“+”这个函数呢？
其实(+ 4 5)可以改写成((+ 4) 5)，则对于“+”而言，他是一个函数，其参数是一个数字，返回一个函数(+ 4)，这个函数对于所有被应用的参数，都会加上4。这种形式的表示方法叫做Curring。

Lambda Abstractions

个人理解，Lambda Abstractions其实就是一个lambda函数。而这个函数应用到某个参数上，则叫做Lambda Reduction。

对于(+ 4)这个函数，其Lambda Abstraction为：(λx . + x 3)。这里λ表示这个是一个Lambda Abstraction，x表示其参数，后面的则是表达式，即函数体。一个函数体中也可能包含另一个Lambda Abstraction，比如：(λx. (λy. – y x))，则表明了函数“-”。

Bound and Free Variables

考虑LE(Lambda Expression)：(λx. + x y) 4，为了能够计算出这个表达式的值，我们需要知道全局变量y的值是多少，而x的值是不用知道的，因为x的值由参数给出，这里就是4。现在我们可以发现，x和y在表达式(+ x y)中，是两个不同类型的变量，我们称x在表达式(+ x y)中被λx绑定(Bound)，且y在表达式(+ x y)中是自由的(Free)。通常来说，一个表达式的值只依赖于其中的Free变量。

Beta-conversion

Beta-conversion描述了如何把一个Lambda Abstraction应用到一个变量上。其实操作就似乎把LA中的被绑定变量用参数代替，比如：(λx. + x 1) 4 –> + 4 1就应用了beta-conversion。

对于函数体中含有别的LA的函数，其替换方法和前面类似：也是把其中的被绑定变量用参数代，比如 (λx. (λy. – y x)) 5 4 –> (λy. – y 5) 4。这里我们发现，其实函数(λx. (λy. – y x)) 传入变量5之后会返回另一个函数(λy. – y 5)，这就是Curring。

注意，这里的替换只是替换被绑定的变量！如(λx . (λx . + ( – x 1)) x 3 ) 9在替换最外层的参数9的时候，只会替换后面出现的x。因为只有这个x是被第一个λx绑定的。可以这样思考，把内层的(λx . + ( – x 1)) 改写成(λy . + (- y 1))  【这其实是一个alpha-conversion】。

通常(λx. (λy E))会被缩写成(λx . λy . E)。

在前面我们介绍了CONS、HEAD和TAIL。这三个函数其实也可以用纯粹的Lambda Abstraction来表示：

1. CONS = (λa . λb . λf . f a b)
2. HEAD = (λc . c (λa . λb . a))
3. TAIL = (λc . c (λa . λb . b))

由Lambda Abstraction应用于参数之后的操作叫做β-reduction，而反过来的操作叫做β-abstraction，β-conversion则表示一个双向的操作。β-reduction和β-abstraction表示两种操作，此外，β-conversion可以表示两个式子之间的相等关系。

Alpha-conversion

考虑两个函数(λx . + 1 x)和(λy . + 1 y)，这两个函数的结果其实是一样的。由函数1转换到函数2的过程叫做α-conversion。值得注意的是，并不是两个函数结果一样，就表示这两个是α-conversion得到的，比如(λx . + 1 x)和(λy . + y 1)，虽然结果是等价的，但是并不是α-conversion。

α-conversion的步骤通俗的说就是，把函数中bound的变量，替换为另外一个不与函数体中别的变量冲突的名字，同时把参数名改为新的名字。

有的时候α-conversion会被用来解决命名冲突的问题，比如：有函数TWICE = (λf . λx . f (f x))，现在来推导表达式(TWICE TWICE)。

TWICE TWICE = (λf . λx . f (f x)) TWICE → (λx . TWICE (TWICE x)) 【β-conversion】= (λx . TWICE ((λf . λx . f (f x)) x))，对于下划线的部分其中的x是被第二个λx绑定的，而最后一个x是被第一个λx绑定的，如果我们进行如下的转换：(λx . TWICE ((λf . λx . f (f x)) x)) → (λx . TWICE ((λx . x (x x)))，其实表达式x (x x)中的x含义是不一样的，究竟哪一个被第一个λx绑定，哪一个被第二个λx绑定是不确定的。这个被称为Name-capture Problem，常常用α-conversion来解决，即把下划线部分转换为(λy . f (f y))即可以。

Eta-conversion

考虑两个LA，(λx . + 1)和(+ 1)。这两个LA作用于同一个变量的时候，其求值过程是一致的。其实这两个LA是可以通过η-conversion得到的。通常来说：(λx . F x) ↔F，若x在F中不是free的，且F是一个函数。

其他规则和符号

δ-conversion常常用来表示内置函数的转换，比如IF等。

符号E[M/x]表示在E中用M代替自由的x，对于β-conversion，则可以简单的写成：(\lambda x . E) M ↔_β E[M/x]

规约的次序

如果一个表达式不再含有可以规约的项，我们则称这个表达式已经计算结束，且这个最终形式被称为normal form。关于normal form，有如下几个注意点：

1. 一个表达式可以被多种方式规约
2. 并不是所有表达式都有normal form
3. 有些规约顺序可以达到normal form，有些则不可以

不同的规约方法可能得到不同的normal form么？关于这个问题，Church-Rosser Theorem I 给出了答案：不会有不同的normal form。

Normal order reduction是指，每次都处理最左边的redex。Church-Rosser Theorem II则指明，若E₁→E₂且E₂是normal form，那么必定存在一个从E₁到E2的normal order reduction序列。

但是并不是说Normal order reduction是最优的方式。

递归函数

Lambda Calculus是可以表示递归函数的，但是Lambda Calculus并没有给函数命名，该怎么表达呢？其实说白了，就是想办法使得递归转为非递归。考虑下面的函数：FAC = (λn . IF (= n 0) 1 (* n (FAC (- n 1))))如果使用β-abstraction则得到式子FAC = (λfac . (λn . IF (= n 0) 1 (* n (fac (- n 1))))) FAC，若把(λfac . (λn . IF (= n 0) 1 (* n (fac (- n 1))))) 记为H，则可转换为FAC = H FAC，这个其实就有点像解方程，最终把FAC给解出来。其实对于f( x ) = x，我们则把x称为函数f的不动点。对于Lambda Calculus也是这样，这里FAC是函数H的不动点。

那么如何解除FAC呢？这里建立一个函数Y，使得Y H是H的不动点，即Y H = H (Y H)，这里Y称为不动点组合子。从而可得FAC = Y H，从而在函数体中去除了FAC。

那么Y到底是什么呢？不知道会不会影响计算呢？大家可以动手算算就知道了。其实Y = (λh . (λx . h (x x)) (λx . h (x x)))。