Ford-Fulkerson 最大流算法

流网络（Flow Networks）指的是一个有向图 G = (V, E)，其中每条边 (u, v) ∈ E 均有一非负容量 c(u, v) ≥ 0。如果 (u, v) ∉ E 则可以规定 c(u, v) = 0。流网络中有两个特殊的顶点：源点 s （source）和汇点 t（sink）。为方便起见，假定每个顶点均处于从源点到汇点的某条路径上，就是说，对每个顶点 v ∈ E，存在一条路径 s --> v --> t。因此，图 G 为连通图，且 |E| ≥ |V| - 1。

下图展示了一个流网络实例。

设 G = (V, E) 是一个流网络，其容量函数为 c。设 s 为网络的源点，t 为汇点。G 的流的一个实值函数 f：V×V → R，且满足下列三个性质：

• 容量限制（Capacity Constraint）：对所有顶点对 u, v ∈ V，要求 f(u, v) ≤ c(u, v)。
• 反对称性（Skew Symmetry）：对所有顶点对 u, v ∈ V，要求 f(u, v) = - f(v, u)。
• 流守恒性（Flow Conservation）：对所有顶点对 u ∈ V - {s, t}，要求 Σ_v∈Vf(u, v) = 0。

f(u, v) 称为从顶点 u 到顶点 v 的流，流的值定义为：|f| =Σ_v∈Vf(s, v)，即从源点 s 出发的总流。

最大流问题（Maximum-flow problem）中，给出源点 s 和汇点 t 的流网络 G，希望找出从 s 到 t 的最大值流。

满足流网络的性质的实际上定义了问题的限制：

• 经过边的流不能超过边的容量；
• 除了源点 s 和汇点 t，对于其它所有顶点，流入量与流出量要相等；

上面的图中描述的流网络可简化为下图，其中源点 s = 0，汇点 t = 5。

上图的最大流为 23，流向如下图所示。

Ford-Fulkerson 算法是一种解决最大流的方法，其依赖于三种重要思想：

1. 残留网络（Residual networks）
2. 增广路径（Augmenting paths）
3. 割（Cut）

这些思想是最大流最小割定理的精髓，该定理用流网络的割来描述最大流的值。

最大流最小割定理

如果 f 是具有源点 s 和汇点 t 的流网络 G = (V, E) 中的一个流，则下列条件是等价的：

1. f 是 G 的一个最大流。
2. 残留网络 G_f 不包含增广路径。
3. 对 G 的某个割 (S, T)，有 |f| = c(S, T)。

Ford-Fulkerson 算法是一种迭代方法。开始时，对所有 u, v ∈ V 有 f(u, v) = 0，即初始状态时流的值为 0。在每次迭代中，可通过寻找一条增广路径来增加流值。增广路径可以看做是从源点 s 到汇点 t 之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。反复进行这一过程，直至增广路径都被找出为止。最大流最小割定理将说明在算法终止时，这一过程可产生出最大流。

1 FORD-FULKERSON-METHOD(G, s, t)
2   initialize flow f to 0
3   while there exists an augmenting path p
4     do augment flow f along p
5   return f

上述伪码实现的时间复杂度为 O(max_flow * E)。

C# 代码实现如下：

  1 using System;
  2 using System.Collections.Generic;
  3 using System.Linq;
  4 
  5 namespace GraphAlgorithmTesting
  6 {
  7   class Program
  8   {
  9     static void Main(string[] args)
 10     {
 11       Graph g = new Graph(6);
 12       g.AddEdge(0, 1, 16);
 13       g.AddEdge(0, 2, 13);
 14       g.AddEdge(1, 2, 10);
 15       g.AddEdge(1, 3, 12);
 16       g.AddEdge(2, 1, 4);
 17       g.AddEdge(2, 4, 14);
 18       g.AddEdge(3, 2, 9);
 19       g.AddEdge(3, 5, 20);
 20       g.AddEdge(4, 3, 7);
 21       g.AddEdge(4, 5, 4);
 22 
 23       Console.WriteLine();
 24       Console.WriteLine("Graph Vertex Count : {0}", g.VertexCount);
 25       Console.WriteLine("Graph Edge Count : {0}", g.EdgeCount);
 26       Console.WriteLine();
 27 
 28       int maxFlow = g.FordFulkerson(0, 5);
 29       Console.WriteLine("The Max Flow is : {0}", maxFlow);
 30 
 31       Console.ReadKey();
 32     }
 33 
 34     class Edge
 35     {
 36       public Edge(int begin, int end, int weight)
 37       {
 38         this.Begin = begin;
 39         this.End = end;
 40         this.Weight = weight;
 41       }
 42 
 43       public int Begin { get; private set; }
 44       public int End { get; private set; }
 45       public int Weight { get; private set; }
 46 
 47       public override string ToString()
 48       {
 49         return string.Format(
 50           "Begin[{0}], End[{1}], Weight[{2}]",
 51           Begin, End, Weight);
 52       }
 53     }
 54 
 55     class Graph
 56     {
 57       private Dictionary<int, List<Edge>> _adjacentEdges
 58         = new Dictionary<int, List<Edge>>();
 59 
 60       public Graph(int vertexCount)
 61       {
 62         this.VertexCount = vertexCount;
 63       }
 64 
 65       public int VertexCount { get; private set; }
 66 
 67       public IEnumerable<int> Vertices
 68       {
 69         get
 70         {
 71           return _adjacentEdges.Keys;
 72         }
 73       }
 74 
 75       public IEnumerable<Edge> Edges
 76       {
 77         get
 78         {
 79           return _adjacentEdges.Values.SelectMany(e => e);
 80         }
 81       }
 82 
 83       public int EdgeCount
 84       {
 85         get
 86         {
 87           return this.Edges.Count();
 88         }
 89       }
 90 
 91       public void AddEdge(int begin, int end, int weight)
 92       {
 93         if (!_adjacentEdges.ContainsKey(begin))
 94         {
 95           var edges = new List<Edge>();
 96           _adjacentEdges.Add(begin, edges);
 97         }
 98 
 99         _adjacentEdges[begin].Add(new Edge(begin, end, weight));
100       }
101 
102       public int FordFulkerson(int s, int t)
103       {
104         int u, v;
105 
106         // Create a residual graph and fill the residual graph with
107         // given capacities in the original graph as residual capacities
108         // in residual graph
109         int[,] residual = new int[VertexCount, VertexCount];
110 
111         // Residual graph where rGraph[i,j] indicates 
112         // residual capacity of edge from i to j (if there
113         // is an edge. If rGraph[i,j] is 0, then there is not) 
114         for (u = 0; u < VertexCount; u++)
115           for (v = 0; v < VertexCount; v++)
116             residual[u, v] = 0;
117         foreach (var edge in this.Edges)
118         {
119           residual[edge.Begin, edge.End] = edge.Weight;
120         }
121 
122         // This array is filled by BFS and to store path
123         int[] parent = new int[VertexCount];
124 
125         // There is no flow initially
126         int maxFlow = 0;
127 
128         // Augment the flow while there is path from source to sink
129         while (BFS(residual, s, t, parent))
130         {
131           // Find minimum residual capacity of the edhes along the
132           // path filled by BFS. Or we can say find the maximum flow
133           // through the path found.
134           int pathFlow = int.MaxValue;
135           for (v = t; v != s; v = parent[v])
136           {
137             u = parent[v];
138             pathFlow = pathFlow < residual[u, v]
139               ? pathFlow : residual[u, v];
140           }
141 
142           // update residual capacities of the edges and reverse edges
143           // along the path
144           for (v = t; v != s; v = parent[v])
145           {
146             u = parent[v];
147             residual[u, v] -= pathFlow;
148             residual[v, u] += pathFlow;
149           }
150 
151           // Add path flow to overall flow
152           maxFlow += pathFlow;
153         }
154 
155         // Return the overall flow
156         return maxFlow;
157       }
158 
159       // Returns true if there is a path from source 's' to sink 't' in
160       // residual graph. Also fills parent[] to store the path.
161       private bool BFS(int[,] residual, int s, int t, int[] parent)
162       {
163         bool[] visited = new bool[VertexCount];
164         for (int i = 0; i < visited.Length; i++)
165         {
166           visited[i] = false;
167         }
168 
169         Queue<int> q = new Queue<int>();
170 
171         visited[s] = true;
172         q.Enqueue(s);
173         parent[s] = -1;
174 
175         // standard BFS loop
176         while (q.Count > 0)
177         {
178           int u = q.Dequeue();
179 
180           for (int v = 0; v < VertexCount; v++)
181           {
182             if (!visited[v]
183               && residual[u, v] > 0)
184             {
185               q.Enqueue(v);
186               visited[v] = true;
187               parent[v] = u;
188             }
189           }
190         }
191 
192         // If we reached sink in BFS starting from source, 
193         // then return true, else false
194         return visited[t] == true;
195       }
196     }
197   }
198 }

运行结果如下：

参考资料

• 广度优先搜索
• 深度优先搜索
• Breadth First Traversal for a Graph
• Depth First Traversal for a Graph
• Dijkstra 单源最短路径算法
• Bellman-Ford 单源最短路径算法
• Bellman–Ford algorithm
• Introduction To Algorithm
• Floyd-Warshall's algorithm
• Bellman-Ford algorithm for single-source shortest paths
• Dynamic Programming | Set 23 (Bellman–Ford Algorithm)
• Dynamic Programming | Set 16 (Floyd Warshall Algorithm)
• Johnson’s algorithm for All-pairs shortest paths
• Floyd-Warshall's algorithm
• 最短路径算法--Dijkstra算法，Bellmanford算法，Floyd算法，Johnson算法
• QuickGraph, Graph Data Structures And Algorithms for .NET
• CHAPTER 26: ALL-PAIRS SHORTEST PATHS

本篇文章《Ford-Fulkerson 最大流算法》由 Dennis Gao 发表自博客园，未经作者本人同意禁止任何形式的转载，任何自动或人为的爬虫转载行为均为耍流氓。