【线性代数】 01 - 古老的新学科

　　线性代数（Linear Algebra）这门学科大家并不陌生，如果有人还是觉得有点生疏，那么“行列式”、“矩阵”这些概念你总该还有印象。大学各个专业都会深浅不同地学习这门课，文科一般放在《大学数学》里，工科生一般在《线性代数》或《高等数学》中见到它，而我们数学系更多地是上《高等代数》这门课。线性代数之所以能同微积分一同挤进大学数学，就在于它模型的简单性和应用的广泛性。它不光是数学研究的一个基本工具，还是很多工商业学科的理论基础。

　　但有意思的是，线性代数成为一门系统学科却还是20世纪初的事。在此之前，各种相关理论独立发展，然后产生交叉，最后在公理化和抽象代数的带动下，终于瓜熟蒂落，形成一套完整的学科。这其实也并不奇怪，它的成长经历和大部分数学学科一样，先是在具体应用中作为一种方法被提出来，然后逐渐从中提取出普遍性理论并形成学科。线性关系作为最简单的一种关系，它的模型和方法存在于很多地方，所以最初它们只是以不同的分支独立发展，而公理化的方法最终捕捉到了它们“线性”的共性，并利用“线性空间”的概念将它们串联起来。

　　简单来说，“线性”就是变量间的“一次”、"正比例"关系，变量的变化率是恒定的。直观来讲，所有元素之间有式子（1）中的关系，其中\(k_i\)是系数。这样的关系实在太普遍，它哪怕在最古老的文明中大家都是驾轻就熟的。古人很早就开始解一些线性方程（组），并形成了一些实用的方法，我国的《九章算术》就给出解三元一次方程组的一般方法，它和多元线性方程组的“高斯消元法”本质上是一样的。

\[y=k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_nx_n\tag{1}\]

　　解多元线性方程组的过程中，莱布尼茨（Leibniz）最先使用了行列式表示低维方程的解，克莱姆（Cramer）则给出了一般方程组的解。这时的行列式还只是一种记号，仅仅用于方程组解的形式表示。此后，范德蒙（Vandermonde）将行列式独立出来，并研究了行列式的子式展开法，这标志着行列式作为一门学科的开始。而柯西（Cauchy）则对行列式进行了系统的研究，融合矩阵的概念并得出许多重要的结论，故柯西也被当做近代意义上行列式的创始人。

　　虽然我们一般说“矩阵的行列式”，但其实矩阵概念的产生却晚于行列式。最初大家也只是形式上使用着这种结构（纵横排列），凯莱（Cayley）最先将矩阵用单个字母表示，这标志着人们开始接受了矩阵作为一个独立个体的存在，凯莱的成果也使它成为矩阵理论的创始人。行列式和矩阵大部分时候是独立发展的，它们的内容和方法关系也并不紧密，而最终却互相成就，结合在了一起。

                       

 Cauchy（1789-1857）                      Cayley（1821-1895）

　　线性代数的另一个来源是解析几何，空间（平面）点的向量化，使得利用代数研究几何非常方便，空间元素的向量定义，使得讨论高维空间成为可能。其实广义的向量并不仅限于空间的讨论，它本质上只是普遍存在的线性关系的一种表示。即使在非线性的场合，也可以在局部用线性关系来逼近，这在计算数学中有着广泛的应用。另外人们还发现，要讨论向量空间的变换关系，最终还是会引出方程组和矩阵的讨论，由此我也决定从向量空间开启我们的线性之路。

　　受到公理化思潮的影响，线性代数的很多基本概念也可以用抽象代数的语言来表示。既然我们已经学习过抽象代数，在行文中我也将不回避相关概念的引用，但其实只要你知道基本概念，就不会影响理解。这里我们相当于把线性代数作为抽象代数的一个分支来讨论，只不过这里研究的结构更为特殊而已。

　　空间向量中还有一些具体的问题，一个是二次曲面（线）方程的分类，借助于矩阵理论可以将曲面（线）方程化简为最简形式，从而便于分类，这部分内容就是后面的二次型理论。另外一个是空间几何中长度、角度的概念需要扩展到一般的向量空间中，这部分内容将在最后简单介绍。多项式理论也是线性代数的基本工具，由于在抽象代数中已经以更高的视角讨论过，这里就不再阐述了。关于矩阵还有一些独立的分支学科，比如矩阵论、矩阵分析，这些内容其实与“线性”关系不大，我打算另开课题介绍。

 

【前序学科】 抽象代数

【参考资料】

[1] 《高等代数》，丘维声，2013

　　高等代数的经典教材，作者试图将所有概念串联，编排顺序新颖而合理，课程内容非常详尽，即适合入门，也有对深入内容的探讨。

[2] 《高等代数》，查建国，1988

　　一本经典老教材，视角比较高，编排结构合理，解析细致，讲解具有启发性，适合进阶阅读。

[3] 《高等代数》（3rd），王萼芳，2003

　　国内一本优秀的入门教材，起步较低，循序渐进，讲解细致流畅，符合基础较少的人阅读。习题丰富，补充习题有难度。

[4] 《高等代数简明教程》（2nd），蓝以中，2007

　　总体比较简洁明了，编排顺序有自己的特点，以应用为切入点，增加了直观印象，书中还有大篇幅的扩展内容。

[5] 《高等代数》（5th），张禾瑞，2007

　　非常浅显的入门教材，适合几乎零基础的人阅读，总体是一本常规教材，内容比较实用。

[6] 《高等线性代数》，张贤科，2012

　　内容编排得非常紧凑，信息量比较大，还包含了不少扩展内容，没有思想性，但适合直接查阅结论。

[7] 《线性空间引论》（3rd），陈恭亮，2009

　　一本别出心裁的教材，选材比较新颖，不同于一般的线性代数，论述有较强的启发和引导性，不讲求大而全。

[8] 《线性代数与矩阵论》（2nd），许以超，2008

　　算一本常规教材，内容充实简介，再加上一些扩展知识，编排顺序有自己的特点，比较适合入门者。

[9] 《线性代数》（5th），同济大学数学系，2007

　　工科专业用的比较多的一本教材，只提取了线性代数中最基础的内容，适合以快速应用为目的的学习。

[10] 《高等代数解题方法》（2nd），张贤科，2005

　　内容非常全面，题型覆盖面广，而且总结非常有条理，你如果想找一本知识总结和习题锻炼的书，我首推这一本。

[11] 《线性代数习题集》，普洛斯库利科夫，1978

　　前苏联的习题集，那个题量和难度，你懂的！反正我没做，粗略浏览了一下，质量应该挺高。

[12] 《高等代数解题技巧与方法》，黎伯堂，2003

　　一本考研习题用书，题目较难，但具有研究性和启发性，值得仔细琢磨。

[13] 《高等代数题解精粹》，钱吉林，2002

　　普通的考研习题集，大部分都很简单，且研究意义不大，可作为考试练手用。

[14] 《高等代数综合题解》，蔡剑芳，1986

　　一本教材附属的习题集，可以伴随着教材一起练习。

[15] 《Advanced Linear Algebra》，N. Loehr，2014

[16] 《Advanced Linear Algebra》，S. Roman，2007

　　两本经典的英文教材，但都是一些高级内容，我没看过，有兴趣的可以学学。