数论之旅3---数论四大定理(你怕不怕(☆゚∀゚)老实告诉我)

(本篇无证明,想要证明的去找度娘)o(*≧▽≦)ツ

----------数论四大定理---------

 

数论四大定理:

1.威尔逊定理

2.欧拉定理

3.孙子定理(中国剩余定理)

4.费马小定理

 

(提示:以后出现(mod p)就表示这个公式是在求余p的条件下成立)

 

 

 

 

 

 

 

 

1.威尔逊定理:(PS:威尔逊是个厉害人)

当且仅当p为素数时:( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )

或者这么写( p -1 )! ≡ p-1 ( mod p )

或者说

若p为质数,则p可整除(p-1)!+1

 

在初等数论中

这是威尔逊给出了判定一个自然数是否为 素数 的 充分必要条件

但是由于阶乘是呈爆炸增长的,其结论对于实际操作意义不大。(´・ω・`)(威尔逊表示很伤心)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.欧拉定理:(PS:欧拉是个厉害人)

欧拉定理,也称费马-欧拉定理
若n,a为正整数,且n,a互质,即gcd(a,n) = 1,则
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
 
φ(n) 是欧拉函数
  欧拉函数是求小于n的数中与n互质的数的数目  
(o>▽<)太长看不懂?我来帮你断句
  欧拉函数是求 (小于n的数 )中 (与n互质的数 )的数目
或者说
  欧拉函数是求 1到n-1 中 与n互质的数 的数目
 
如果n是质数
那么1到n-1所有数都是与n互质的,
所以φ(n) = n-1
如果n是合数。。。自己算吧
例如φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质
 
 
顺便一提,这是欧拉定理
φ(n)是欧拉函数
还有一个欧拉公式
eix = cosx + isinx
把x用 π带进去,变成
e= -1
大部分人写成  e + 1 = 0
 
这是一个令万人膜拜的伟大公式
引用一个名人的话(我忘了是谁( ̄▽ ̄lll)):
"它把自然对数e,虚数i,无理数 π,自然界中的有和无(1和0)巧妙的结合了起来,上帝如果不存在,怎么会有这么优美的公式。
如何见到它第一眼的人没有看到它的魅力,那它一定成不了数学家"
 
一定要分清 欧拉定理,欧拉函数和欧拉公式这3个东西,要不然你就百度不到你想要的东西了(其实我在说我自己 ̄ε  ̄)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.孙子定理(中国剩余定理):(PS:孙子是个厉害人。。。这话怎么在哪里听过( ・◇・)?好耳熟)

孙子定理,又称中国剩余定理。

 

公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之余二 ,五五数之余三 ,七七数之余二,问物几何?”答为“23”。

就是说,有一个东西不知道有多少个,但是它求余3等于2,求余5等于3,求余7等于2,问这个东西有多少个?”答为“23”。

 

用现代数学的语言来说明的话,中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组:

中国剩余定理说明:假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质,则对任意的整数:a1,a2, ... ,an,方程组  有解

 

至于怎么求解,以后再讲

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.费马小定理:(PS:费马是个厉害人。。。好了最后一遍,不玩了)

 

假如p是质数,若p不能整除a,则 a^(p-1) ≡1(mod p),若p能整除a,则a^(p-1) ≡0(mod p)。
或者说,若p是质数,且a,p互质,那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
 
 
你看你看你看o(*≧▽≦)ツ,是不是和欧拉定理很像
 
因为欧拉定理是费马小定理的推广,所以欧拉定理也叫费马-欧拉定理(费马:欧拉是坏人(/TДT)/,盗取我的成果,然后加以利用)

 

顺便一提,费马大定理

费马大定理,又被称为“费马最后的定理”,由法国数学家费马提出。
它断言当整数n >2时,关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
被提出后,经历多人猜想辩证,历经三百多年的历史,最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

 

 

 

 

 

 

 

 

这是数论的一些基础,以后会用的上的 ̄ 3 ̄

 

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