最大公约数与最小公倍数

利用辗转相除法求最大公约数：

#include <stdio.h>

int hcf(int a,int b)
{
  int r=0;
  while(b!=0)
  {
      r=a%b;
      a=b;
      b=r;
  }
  return(a);
} 

int lcd(int u,int v,int h)
{
    return(u*v/h);
}

int main()
{
    int u,v,h,l;
    scanf("%d%d",&u,&v);
    h=hcf(u,v);
    printf("H.C.F=%d\n",h);
    l=lcd(u,v,h);
    printf("L.C.D=%d\n",l);
	system("pause");
}

 减少代码的冗余：

 

 

int hcf(int x,int y)
{
　　return (!y) ? x : GCD(y,x%y);
}

 但是对于大整数会出现一些问题，换用位运算即 f(x,y)=f(x-y,y);深入考虑一下发现在算法运行的过程可能会出现x<y的情况，这时候要交换x和y，但是结果不受影响。

BigInt hcf(BigInt x,BigInt y)
{
　　if(x < y) return hcf(y,x);
　　return (!y) ? x : hcf(x-y,y);
}

 代码中用到的BigInt是大整数类，可以存储成百上千位的整数,这个算法引入了另外一个问题，那就是当x和y相差很多时，算法的迭代次数会过高，导致了算法的效率较低，例如计算GCD(100000000000001,1)。这种情况确实存在啊，于是我们要考虑其他的优化了。

 

每种情况都有自己的适应场景，下面对以上不适合场景做一些改变：

(1)如果y=k*y1,x=k*x1.那么有f(x,y)=k*f(x1,y1)

(2)如果x=p*x2,p为素数，并且y%p != 0，那么f(x,y) = f(p*x2,y) = f(x2,y)

于是我们得到下面的解决方法：

将p = 2,

若x，y均为偶数，f(x,y) = 2*f(x/2,y/2) = 2*f(x>>1,y>>1);

若x是偶数，y是奇数，f(x,y) = f(x/2,y) = f(x>>1,y);

若x是奇数，y偶数，f(x,y) = f(x,y/2) = f(x,y>>1);

若x和y均为奇数，f(x,y) = f(y,x-y)。这时x-y一定是偶数，下一步一定会除以2。

因此，可以看出这种算法的时间复杂度是O(log₂（max（x，y）)_。

 

BigInt hcf(BigInt x,BigInt y)
{
　　if(x < y) return GCD(y,x);
　　if(y == 0) return x;
　　else
　　{
　　　　if(IsEven(x))
　　　　{
　　　　　　if(IsEven(y))
　　　　　　　　return (hcf(x>>1,y>>1)<<1);
　　　　　　return hcf(x>>!,y);
　　　　}
　　　　else
　　　　{
　　　　　　if(IsEven(y))
　　　　　　　　return hcf(x,y>>1);
　　　　　　return hcf(y,x-y)
　　　　}
　　}
}