NTU-Coursera机器学习:机器学习的可行性 & 训练与测试

提纲

机器学习的可行性 & 訓練與測試内容如:

1. 引入计算橙球概率问题

2. 通过用Hoeffding's inequality解决上面的问题，并得出PAC的概念，证明采样数据学习到的h的错误率可以和全局一致是PAC的

3. 将得到的理论应用到机器学习，证明实际机器是可以学习

4. 二元分类的 Effective Number

5. 一般备选函数的 EffectiveNumber

6. break point

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Learning is Impossible机器学习的可行性

假设有如下学习问题：

训练数据D包含了6张3*3的黑白图片，并给出了对应的输出，根据这些信息确定一个近似目标函数g，并用g计算最下方图片的输出。

甲认真看了下发现第一行三张图片左上角都是黑色色块，第二行三张图片左上角都是白色色块，最下面那张左上角是黑色，所以g(x)=-1；乙发现第一行三张图片都不是对称的，第二行三张图片总能找到一个对称轴，而最下面那张图也有一个对称轴，所以g(x)=+1。在这个例子中，你给出一个备选的g函数，总能找到另一个g'函数在D上成立，并且输出与g相反，也即，在D上正确的g，在D以外的数据上不一定正确！更苦逼的是，D以外的计算结果我们无法验证它的正确性！

再举一个相似的例子：

输入集{χ}={0,1}^3;

输出集{η}={○，x}

训练数据D ===>>

由于该问题比较简单，我们可以把所有在D上成立的备选函数 fi 枚举出来：

f1 ~ f8 都有可能是函数g，但是我们确定不了。在上面的两个例子中，在D的基础上都能得出不止一个备选函数 fi，并且无法确定这些备选函数的正确性。对于这样的问题，可以讲机器学习是无能为力的。

Probability to the Rescue概率方法

如果有一个装有很多（数量很大以至于无法通过数数解决）橙色球和绿色球的罐子，我们能不能推断橙色球的比例？根据上一节，用有限的数据D，去推测D超集上的目标函数f有可能会失败。这种用已知推测未知的问题在概率论中同样存在：

很明显的思路是利用统计中抽样的方法，既然我们无法穷尽数遍所有罐子中的球，不如随机取出几个球，算出其中两种颜色球的比例去近似得到我们要的答案，

在一个罐子里，放着很多小球，他们分两种颜色{橘色，绿色}。有什么办法能够推测橘色小球所占的比例？从罐中随机抓一把小球，有N个。假设：罐中橘色球的比例为μ（未知），抓出来的样本中橘色球的比例为ν（已知）。ν能代表μ吗？

根据概率论中的霍夫丁不等式（Hoeffding’s Inequality），若N足够大，ν就很可能接近μ。

这里v 是样本概率；u 是总体概率。

Connection to Learning概率方法与学习问题的联系

映射中最关键的点是讲抽样中橙球的概率理解为样本数据集D上h(x)错误的概率，以此推算出在所有数据上h(x)错误的概率，这也是机器学习能够工作的本质，即我们为啥在采样数据上得到了一个假设，就可以推到全局呢？因为两者的错误率是PAC的，只要我们保证前者小，后者也就小了。

橘色球的比例μ  --》备选函数h(x)的正确性（是否接近f(x)），h∈H 

罐子中的小球              --》 输入集{χ}

作为样本的N个小球     --》 训练集D={ xi,  yi }   ( i=1, ... ,N)   D∈{χ}

橘色小球                     --》h(xi)错误，或h(xi)≠f(xi)

绿色小球                     --》h(xi)正确，或h(xi)=f(xi)

这里假设小球与数据x都是独立同分布的。

显然，N足够大的时候可以用D上的 [h(x)≠f(x)] 来推测{χ}上的 [h(x)≠f(x)]。就是说，如果样本足够大，那么备选函数h在D上犯错误的比例接近其在{χ}上犯错误的比例。

设某一备选函数h在D上的犯错比例为E-in(h)，在整个输入集上的犯错比例为E-out(h)，则有：

这意味着我们可以根据备选函数h在D上的表现来衡量它的正确性，并最终从备选函数集H中选出最优的那个h作为g，且g≈f

请注意，以上都是对某个特定的假设，其在全局的表现可以和其在DataSet的表现PAC，保证DataSet表现好，就能够推断其能泛化。可是我们往往有很多假设，我们实际上是从很多假设中挑一个表现最好（Ein最小）的作为最终的假设，那么这样挑的过程中，最小的Ein其泛化能力一定是最好么？肯定不是。

对于一个固定的假设h， 我们需要验证它的错误率；然后根据验证的结果选择最好的h。

Connection to Real Learning真实的机器学习

到此为止万无一失了吗？No，因为概率论喜欢与人开玩笑。举个例子，150个人，每人抛一个硬币5次，至少有一个人5次皆为人头向上的概率为：

 1 - (31/32)^150 = 99.15%

所以一个小概率事件如果重复多次，他发生的概率就会变得很大。

同理，如下情形是有可能的：

学习算法A在备选函数集H中（含有很多h）孜孜不倦地挑选着h，突然找到一个hi，发现它在D上没犯错误或只犯了很少错误，A高兴大喊：我找到g了，就是这个hi！但实际上这个hi在{χ}上却犯了很多错误（E-in(hi)与E-out(hi)差很远）。对于这个hi来说，D是一个坏样本（Bad Sample）。

H中可能提取若干样本Di，{ i= 1, 2，3 . . . }，对于某一个h来说，其中一些样本是Bad Sample。那么对于任意样本D和给定的h，有：

面对多个h 做选择时，容易出现问题。比如，某个不好的h 刚好最初的”准确“ 的假象。在整个备选函数集H（有M个元素）上，以下4个命题等价：

• ---》D是H的Bad Sample
• ---》D是某些h的Bad Sample 
• ---》学习算法A不能在H中做自由筛选   
• ---》存在某些h使得E-in(h)与E-out(h)差很远

随着h 的增加，出现这种假象的概率会增加。发生这种现象的原因是训练数据质量太差。

所以，D-1126这样的训练数据集是比较优质的。对于某个假设h， 当训练数据对于h 是BAD sample 时， 就可能出现问题。因此，我们希望对于我们面对的假设空间，训练数据对于其中的任何假设h 都不是BAD sample。给定任意D，它是某些H的Bad Sample的概率为：

所以，当假设空间有限时（大小为M）时， 当N 足够大，发生BAD sample 的概率非常小。此时学习是有效的。当假设空间无穷大时,例如感知机空间. 即H中备选函数的数量M越少，样本数据量N越大，则样本成为坏样本的概率越小。在一个可接受的概率水平上，学习算法A只需要挑选那个表现最好的h作为g就行了。

以上推论成立的必要条件是M有限，当M→∞时怎么办？  接下来我们讨论。

回顾：機器學習的可行性

基于统计的学习流程：

• ---》如果备选函数集的大小|H|=M，M有限，训练数据量N足够大，则对于学习算法A选择的任意备选函数h，都有  E-out(h)≈E-in(h)
• ---》如果A找到了一个备选函数，使得E-in(h)≈0，则有很大概率E-out(h)≈0 ---》学习是可能的
  

可以讲，机器学习有两个核心问题：

1.  我们能否保证E-out(h)与E-in(h)足够接近？
2.  我们能否使E-in(h)足够小？
   

对于M→∞的情况，能否把它reduce到有限，是这一讲将要讨论的问题。

最重要的是公式：

（1） 假设空间H有限（M），且训练数据足够大，则可以保证测试错误率Eout 约等于训练错误率Ein；
（2）如果能得到Ein 接近于零，根据（1），Eout 趋向于零。
以上两条保证的学习的可能性。

可知，假设空间H 的大小M 至关重要，我们接下来会力求找一个H 大小的上界。
M存在重要的trade-off 思想：
（1）当M 很小，那么坏数据出现的概率非常小（见第四讲分析），学习是有效的；但是由于假设空间过小，我们不一定能找到一个方案，可以使训练误差接近零；
（2）反之，若M 很大，坏数据出现的概率会变大。
若假设空间无限大（比如感知机），学习一定是无效的吗？这门在下面力图回答这个问题。

假设空间H 大小：M.根据上面的公式，当M 无限大时是无法有效学习的；主要是我们在计算M 是通过UNION BOUND 的方式，这样得到的上界太宽松了；实际上，由于不同假设下发生坏事情是有很多重叠的，其实我们可以得到比M小得多的上界。

二元分类的 Effective Number

回顾一下霍夫丁不等式的推导：在训练数据集D上，有一个不好的备选函数h使得

只要有一个h不好，就可以认为这个H与D的搭配是不好的

为了让A能够自由选择，我们要求这个坏事件的发生概率必须小于某一个可以接受的值，考虑最坏的情况，利用Union Bound 获得上述概率的上限

从而得到的霍夫丁不等式。

这里Union Bound所代表的情况只有在M个事件没有交集的时候才发生。因此Union Bound过于高估了坏事件发生概率的上限。

具体来说，假如有两个相似的备选函数h1≈h2 ,则h1与h2在D上几乎是同好或同坏的，或曰B1与B2高度相关，P[B1]与P[B2]可以合并，但Union Bound却将他们相加了。解决过分估计的问题，可以将备选函数集分类，相似的函数分在一起。以二元分类问题为例，备选函数集为:

其中有无数条线。

1). 当只有一个输入时，这些线可以被分成两类(第一类，输出为○；第二类，输出为×。)。

2).输入变成2个,显然有4种划分。

3). 输入变成3个,可以有8种划分。

也可能只有6种。

此时3个输入共线。所以3个输入情况下最多8种划分；

4). 输入变成4个,最多14种划分。

综上，N个输入下线性划分的最大个数即线性划分有效数（Effective Number of Lines），这里可以理解成有效划分。由于是二分类问题，线性划分有效数一定 ≤ 2^N，我们希望：

1. 用线性划分有效数代替M，从而将无限reduce到有限；

2. 线性划分有效数 << 2^N，从而坏事件的发生概率上限不至于随着N的增大而指数增长。

一般备选函数的 EffectiveNumber

备选函数集中的每一个函数h都是输入X到输出Y的一个映射：

就包括了所有对D的dichotomies。

定义成长函数（Growth Function）为：

即成长函数是在N个输入上dichotomies的最大数量。举个例子，平面二元分类，输入为3时，如果3个点共线，有6个划分，如果3个点不共线也不重合，有8个划分，所以此时成长函数值为8。

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Positive Ray

输入（x1,x2,...,xN）分布在实数轴上，确定一个分割点a，大于a的输出+1，小于a的输出-1。

显然，有N个输入，实数轴被分成N+1段，Positive Ray的成长函数为

此时N+1 << 2^N （N is large）。

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Positive Interval

输入（x1,x2,...,xN）分布在实数轴上，确定一个范围[ l, r )，在范围内的输出+1，其他输出-1。

N个输入，实数轴被分成N+1段，从其中任选两段构成一个interval，或两端落在同一段中，Positive Interval的成长函数为

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Convex Set - 凸集

顾名思义，划分区域必须是凸的。左图蓝色区域是凸集，右图则不是。

凸集的成长函数长什么样？

假设N个输入（x1, x2, ..., xN）在2维空间中刚好位于一个圆上，给定任意一种dichotomy，总能找出一个凸集刚好包含了所有+1的点，并将-1的点排斥在外。

即 ,此时我们已经找到了

的上限，从而不必关心N个输入不在一个圆上的情况。我们可以说：

break point

在霍夫丁不等式中，用成长函数代替M：

如果成长函数是指数函数，则随着N的增大，概率上限也急剧增加，所以我们希望成长函数是多项式。

回顾下上一小节的4个成长函数：

Positive Ray和Positive Interval的成长函数是多项式，而Convex Set的成长函数是指数函数。那2D-PLA的成长函数是多项式吗？

为了回答这个问题，引入一个新概念 - Break Point。

有k个输入，如果它不能被当前的备选函数集H shatter，那么k就是H的一个Break Point。

或者说对于任意k个输入，H都无法穷尽所有可能的划分。

这里讨论的Break Point指的是minimum break point k，也就是第一个被shatter的N。

对于2D-PLA，break point k = 4。

而Break Point 与成长函数的成长性到底有什么关系？

首先我们能确定，对于二元分类问题，如果一个H没有break point，给定任意N，一定能找到N个输入，H能穷尽它的所有划分，此时：

如果 break point = k 从上图可以猜测：

如果猜测成立，那么只要N足够大，训练结果的正确性就有保障了~~~

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