博弈之 Nim 游戏&poj 3537 Crosses and Crosses

参考链接：博弈之 Nim 游戏和 sg 函数
题目链接：poj 3537 Crosses and Crosses

Nim游戏的定义

Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种，准确来说，属于“Impartial Combinatorial Games”（以下简称ICG）。满足以下条件的游戏是ICG（可能不太严谨）：

1. 有两名选手；
2. 两名选手交替对游戏进行移动(move)，每次一步，选手可以在（一般而言）有限的合法移动集合中任选一种进行移动；
3. 对于游戏的任何一种可能的局面，合法的移动集合只取决于这个局面本身，不取决于轮到哪名选手操作、以前的任何操作、骰子的点数或者其它什么因素；
4. 如果轮到某名选手移动，且这个局面的合法的移动集合为空（也就是说此时无法进行移动），则这名选手负。

必败必胜策略的定义

定义P-position和N-position，其中P代表Previous，N代表Next。直观的说，上一次move的人有必胜策略的局面是P-position，也就是“后手可保证必胜”或者“先手必败”，现在轮到move的人有必胜策略的局面是N-position，也就是“先手可保证必胜”。更严谨的定义是：1.无法进行任何移动的局面（也就是terminal position）是P-position；2.可以移动到P-position的局面是N-position；3.所有移动都导致N-position的局面是P-position。按照这个定义，如果局面不可能重现，或者说positions的集合可以进行拓扑排序，那么每个position或者是P-position或者是N-position，而且可以通过定义计算出来。

例子

poj3537就是Nim游戏的一种：
有个2人玩的游戏在一个规模为1*n的棋盘上进行，每次一个人选择一个地方画上’X’,一旦某个人画上X后出现了连续3个X，那么这个人就赢了。给你n（3≤n≤=2000）问先手和后手谁会赢。

仔细思考一下我们发现，xxx的上一步只能是oxx，xox，xxo的其中一种，也就是说如果谁走出一步形成上述局面那么谁就必败。
再进一步说，如果你在第i个格子画x，那么i-1,i-2,i+1,i+2，都不可以画x，因为那样会必败。
这样题目就可以转化为，轮流画x，谁没有格子画x谁就输。
以上例来进行一下计算，假设N为3，也就是OOOO，当前局面有4个子局面，XOOO，OXOO，OOXO，OOOX。
1. XOOO对于当前玩家只有一步可走，就是XOOX(别忘了上面说过每走一步，该位置左右共4个位置都不能)，所以XOOO就是一个N－position局面(后手输)。
2. OXOO对于当前玩家无步可走，所以是一个P－position(先手输)。
3. 4. OOXO,OOOX就不再赘述，前者P，后者N。
那么OOOO显然是一个N－position，因为他的子局面中有P－position(他当然会把这种局面留给自己的对手)。

根据上面这个过程，可以得到一个递归的算法——对于当前的局面，递归计算它的所有子局面的性质，如果存在某个子局面是P-position，那么向这个子局面的移动就是必胜策略。当然，会存在大量的重叠子问题，可以用DP或者记忆化搜索的方法以提高效率。
但问题是，利用这个算法，对于某个Nim游戏的局面(a1,a2,…,an)来说，要想判断它的性质以及找出必胜策略，需要计算O(a1*a2*…*an)个局面的性质，不管怎样记忆化都无法降低这个时间复杂度。所以我们需要更高效的判断Nim游戏的局面的性质的方法，也就是Bouton’s Theorem，上面的参考链接里有这个的详细解释与证明，就不贴了。

总之，通过Bouton’s Theorem，可以得到，如果a的子局面a1^a2^..^an == 0，a就是一个N－position，否则a是P－position。
这也解清了我对好多人用异或的一个疑惑。

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;

const int N = 2009;
int sg[N];

int getsg(int n)
{
    if(n<=0)
        return 0;
    if(sg[n] != -1)
        return sg[n];
    bool f[N] = {};//对当前局面的子局面进行标记
    for(int i=1; i<=n; i++)
        f[getsg(i-3)^getsg(n-i-2)] = 1;//标记所有的子局面
    for(int i=0; ; i++)//如果子局面没有0，则说明当前局面为P－position。
        if(!f[i])
            return sg[n] = i;
}

int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        memset(sg, -1, sizeof(sg));
        if(getsg(n))
            cout<<"1"<<endl;
        else
            cout<<"2"<<endl;
    }
    return 0;
}