【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第二十四课 特征值与特征向量的应用——马尔科夫矩阵、傅里叶级数

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~

马尔科夫矩阵Markov Matrix

马尔科夫矩阵Markov Matrix有两个性质：所有元素大于等于0，所有矩阵的列相加等于1。

这里性质导致一些有趣的特性：

• 马尔科夫矩阵Markov Matrix 的幂依然是马尔科夫矩阵Markov Matrix
• 马尔科夫矩阵Markov Matrix的其中一个特征值为1，其他所有的特征值的绝对值小于1

这二个特性导致了什么呢？看看我们之前关于矩阵的幂的公式：

不难发现随着k的增大，特征值的绝对值小于1的项最终都趋近于0，steady state取决于特征值为1的那一项。那么特征向量呢？
一个例子：

既然我们说其必定存在特征值为1，那么观察：

首先，很容易观察出，对于马尔科夫矩阵 A ，其减去单位矩阵 A−I 的所有行的和为0，这说明了什么？说明 A−I 的row vector线性相关， A−I 为奇异矩阵，那么[1,1,1]在 AT 的null space中，我们想要的特征向量在 A 的null space中。
这里老师引入一个性质：
A 的特征值等于 AT 的特征值，理由是
det(A−λI=0)
⇒det((A−λI)T=0)
⇒det(AT−λI=0)
求解 A 的零空间的一个向量很简单，等于求解

很容易求解特征向量，第一行取.6，第三行取.7，第二行求解即可。

马尔科夫矩阵的应用

举例子：

初始状态为[0, 1000]
U是两个城市的人口，矩阵A代表的两个城市之间人口的转化（即从城市cal到mass或反之的人数比例），明显最终的稳态取决于矩阵A，由于这里假设总人口不变，所以矩阵A是马尔科夫矩阵，于是利用上一课的内容求解通式：

得到结果后，我们可以轻松获得任意时刻的状态和稳态。

傅里叶级数

由标准正交基组成的投影矩阵

对于任意向量 v 都可以由标准正交基 q1,q2...qn 线性表示：
v=x1q1+x2q2+...+xnqn
我们想要得到 x1 ，由于这里 q1,q2...qn 彼此正交，我们想到做内积inner prodect可以消去其他项：
qT1v=x1qT1q1+x2qT1q2+...+xnqT1qn
⇒qT1v=x1qT1q1+0+...+0
写为如下形式：

那么 x=Q−1v=QTv
⇒xn=qTnv

傅里叶级数

我们知道某个方程：

这个方程和上面的很像，这里每一项也是正交，区别在于这里的 qn 为函数而非向量。
首先是何为函数的正交？正交意味着内积为0，向量的内积我们知道如何额计算：

那么两个函数之间呢？函数是一堆连续的点，很自然的想到了积分：

对于傅里叶级数，由于存在周期，所以积分从0到 2π
于是可以验证傅里叶级数中每一项正交，现在，要怎么求 a1 ，和之前一样，我们让等式两边对 cos(x) 做内积：

(cos(x))2 的积分为 π 于是 a1= 1π ∫2π0f(x)cos(x)dx

PS：另一位仁兄的笔记
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/14056485