69. Sqrt(x)

69. Sqrt(x)

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Total Accepted: 79525  Total Submissions: 325488  Difficulty: Medium

实现sqrt函数，即平方根函数

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

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  (M) Pow(x, n)

分析：

一个正整数的平方根，尽然要求返回一个整数？觉得别扭。
本题是一个典型的数值分析问题，还是比较简单的！控制精度以及两个变量二分迭代至n即可。
具体：
首先根号n这个值一定在n以内，令low=0，high=n
控制精度为0.01，使x-（（low+high）/2）*（（low+high）/2）之差<0.01（微小的数即可，说明基本相等了）
可得int（（low+high）/2）

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x==1 || x==0)
            return x;
        double xx=double(x);
        double low=0.0,high=xx,mid=(low+high)/2.0;
        while(abs(mid*mid-xx)>0.01)
        {
            if(mid*mid-xx > 0)//mid需要减小
                high=mid;
            if(mid*mid-xx < 0)//mid需要增大
                low=mid;
            mid=(low+high)/2.0;    
        }
        return int(mid);
    }
};

别人的答案，怪不得要求返回整数，看来我想偏了，这道问题或许不算数值分析问题，下一道“切蛋糕”才是：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        long r = x;
        while (r*r > x)
            r = (r + x/r) / 2;//刚好小于x时的r即为所求,这个迭代式子不明白.......
        return r;
    }
};

看了一下网上的分析，猛地回忆起了牛顿迭代法，实际上我们就是在解方程x^2-n=0，而根据牛顿迭代式就成了上述式子。
既然牛顿迭法可以做，那么雅特肯迭代法等也可以做；
牛顿迭代法求开方，具体推到如下：

假设f(x)是关于x的函数，如图所示：

在Xn处的斜率为：

求得：

根据

得到递推公式：

当Xn+1和Xn差距极其小时，Xn即为所求

/**********************************************来自九度的华丽分割线**********************************************/

联动一道在九度玩过的一道题：
题目1551：切蛋糕

题目描述：

有如下图半价为R的圆形蛋糕，被切一刀后（图中红色直线），分成两个部分（黄色和绿色），已知其比例为r，求刀痕长度（图中红色直线）。

输入：

输入包括多组测试数据，包括一个整数R(1<=R<=1000),和一个浮点数r(0<r<1)，精确到第四位小数。

输出：

对于每组测试用例，输出一个浮点数，代表刀痕的长度，保留二位小数。

样例输入：

1000 0.5000
500 0.6183

样例输出：

1928.53
982.49

分析：

这个题目的主要难度在于分析题目如何解决。

我们得到上图的结果，得S1/S2=r，即S1=r*S2;

又S1+S2=PI*R*R（整个圆的面积）

得到S1=(PI*R*R)*r/(1+r)；

假设刀痕的长度为2L，则其一半为L，且sin(a)=l/R

则a=arcsin(l/R)

扇形面积为S3=R*R*（2*a）/2

三角形的面积为S4=L*sqrt(R*R-L*L)/2

所以S1new=S3-2*S4

由于这个L是未知的我们可以初始化其值，让S1new和S1的差精确到0.00000001（甚至更小）

#include <iomanip>//小数点精确
#include <cstdio>  
#include <cstdlib>  
#include "queue"
#include "vector"
#include "string"
#include "algorithm"
#include <iostream>
#include "stack"
#include <cmath>
#include <set>
 
using namespace std;
 
const double Pi = 3.1415926;
int main()
{
    int R = 0;
    double r = 0.0;
    while (cin >> R >> r)
    {
        if (r > 1)
            r = 1.0 / r;
        double low = 0.0, high = R*1.0;
        double s1 = Pi*R*R*r / (1 + r);//将s1的面积已知,用来控制精度(s1+s2=Pi*R*R)
        double l=0.0, result=0.0;
        while (true)
        {
            l = (low + high) / 2;//初始化
            result = R*R*asin(l / R) - sqrt(R*R - l*l)*l;//根据公式求出s1的面积
            if (abs(result - s1)<0.0000001)//控制精度
                break;
            if (result>s1)//慢慢缩减到准确值
                high = l;
            if (result<s1)
                low = l;
        }
        cout <<fixed<<setprecision(2)<< 2 * l << endl;
    }
    return 0;
}
/**************************************************************
    Problem: 1551
    User: EbowTang
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:50 ms
    Memory:1600 kb
****************************************************************/

注：本博文为EbowTang原创，后续可能继续更新本文。如果转载，请务必复制本条信息！

原文地址：http://blog.csdn.net/ebowtang/article/details/50520553

原作者博客：http://blog.csdn.net/ebowtang