浮点数的存储

■ 现实生活中的小数
数学中的小数，又称为实数。一般用十进制表示

例如： 3.14159265


■ 科学计算法
数学中的科学计算法许多种表示法

3.14159265 = 0.314159265 × 101


■ 计算机中浮点数的表示

在计算机中的使用科学计数法是一种“规格化计数法”。

● 规格化计数法
用科学计数法表示实数时，如果最左边的第一个数字不是0，则被称为“规格化计数法”
0.1 × 10-2 不是规格化计数法
1.0 × 10-3 则是规格化计数法


● IEEE 754 标准
IEEE 754 标准成立于1985年，80年代起所有的计算机系统均支持IEEE 754
IEEE 754 对浮点数在计算机表示方法有三个主要的规定：


对于单精度（single precision）：单精度浮点数位长：32位

（1） IEEE 754 标准规定：第1位为符号位，1 代表负，0代表正
（2） 接下来用8位来表示指数部分。
（3） 接下来的23位用来表示有效数位

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
- --------------- ---------------------------------------------
S 指数（8位） 有效数位 （23 位）


★ IEEE 754 考虑到利用现有的整数比较指充，对浮点数能进行快速的比较和排序，由于指数部分大小能快速反应出浮点数的大小，所以，在符号位接下来的8位用来表示指数，有效数位的大小反应出浮点数的精度。安排在最后的23位

★ 对于规格化二进制浮点示法而言，有效数位的第1位必定是1而不是0，因此，IEEE 754 规定：实际有效数位中的第1位被省去，因而，有效数位中默计含有1位。

★ 移码：除了将指数安排在有效数位前面，还不足以快速比较两个浮点数的大小，例如：

1.0 × 2 -1 在计算机中表示为：0 11111111 00000000000000000000000
这个数相当于整数的 0x7F800000

1.0 × 2 1 在计算机中表示为：0 00000001 00000000000000000000000
这个数相当于整数的 0x00800000

如果用整数比较指令，比较两个数，1.0 × 2 -1 竟然比 1.0 × 2 1 还大！

为了解决这个问题，IEEE 754 设计了一个方案：将指数加上一个常数 127
这个常数 127 被称为“移码”（biased notation）

我们再来看一看：
1.0 × 2 -1 将指数： -1 + 127 = 126 后,得出以下的二进制数：
0 01111110 00000000000000000000 也就是: 0x3F000000

1.0 × 2 1 将指数：1 + 127 = 128 后，得出以下的二进制数：
0 10000000 00000000000000000000 也就是：0x40000000

这样的话，就可以得出正确结果了。



对于双精度（double precision）浮点数来说：位长64 位
（1）IEEE 754 标准规定：第1位为符号位，1 代表负，0代表正。
（2）接下来用11位来表示指数部分。
（3）接下来的52位用来表示有效数位。

★ 双精度浮点数用52位来表示有效数位，11位表示指数位，这样提高浮点数的精度，也还提高了浮点数的取值范围。

★ 双精度的移码为 1023



例子：
1、将 -0.625 转化为计算机中的二进制数浮点数
解：
-0.625 = -5/8 = -5/23 = -101 × 2-3 = -1.01 × 2-1

符号位：1
指数位：-1 + 127 = 126
有效数位：1.01（在机器中要相应去掉默认位）

所以，在机器表示的二进制序列为：1 01111110 0100000000000000000000
相当于整数：0xBF200000


2、将如下二进制序列用十进制浮点数表示。
11000000101000000000000000000000

解：
符号位：1 是负数
指数位；10000001 = 129， 这个数要减去移码值，即：129 – 127 = 2
有效数位：01000000000000000000000 这个数要加上默认1，即得：1.01

整个序列结果为：- 1.01 × 22 = -101 = -5.0

下面的例子是按照二进制格式化输出整型、字符型以及单精度和双精度浮点型的例子：

#include<stdio.h>

/*
 *
 *fun1(char);
 fun2(int )
 fun3(float);
 fun4(double);
 *
 *
 *
 * */

void fun4(double n)
{

    int i;
    unsigned j = 0;
    char *p = (char*)&n;

    putchar(10);
    printf("double n:%lf\n",n);
    for(i = 7; i >= 0; i--)
    {
        for(j = 0x80; j != 0; j >>= 1)
        {
            if(*(p + i) & j)
            {
                putchar('1');

            }
            else{
                putchar('0');
            }
            if( i == 7 && j == 0x80 || i == 6 && j == 0x10)
            {
                putchar(' ');
            }
        }
    }

    putchar(10);
}



void fun3(float n)
{
    char * q = (char*)&n;
    int i;
    unsigned int j = 0;
    putchar(10);

    printf("float  n:%f\n",n);
    for(i = 3; i >= 0; i--)
    {
        for(j = 0x80; j != 0; j >>= 1)
        {
            if(*(q + i) & j)
            {
                putchar('1');
            }
            else
            {
                putchar('0');
            }
            if(i == 3 && j == 0x80 || i == 2 && j == 0x80)
            {
                putchar(' ');
            }
        }
    }



    putchar(10);
}
void fun2(int n)
{
    unsigned int j = 0x80000000;
    putchar(10);
    printf("int  n:%d\n",n);
    while(j != 0)
    {

        if(n & j)
        {
            putchar('1');
        }
        else
        {
            putchar('0');
        }

        if(j == 0x80000000 || j == 0x00800000)
        {
            putchar(' ');
        }
        j >>= 1;

    }
    putchar(10);
}
void fun1(char n)
{

    char  i = 0;
    unsigned  char  j = 0x80;

    putchar(10);
    printf("char n: %d\n",n);
    while(i < 8)
    {
        if(n & j)
        {
            putchar('1');
        }
        else
        {
            putchar('0');
        }
        j >>= 1;
        i++;
    }
    putchar(10);
}
int main(void)
{
    float x1 = 4.25;
    float x2 = -4.25;
    double y1 = 4.25;
    double y2 = -4.25;
    int z1 = 5;
    int z2 =-5;
    char w1 = 13;
    char w2 = -13;

    fun2(z1);
    fun2(z2);

    fun1(w1);
    fun1(w2);

    fun3(x1);
    fun3(x2);

    fun4(y1);
    fun4(y2);

    putchar(10);
    return 0;
}

执行结果：