Stable Matching Problem —— Gale Shapley算法

“一切算法都是从实际问题出发，深入理解问题内在的组合结构，从算法性着手进行设计。”

Problem

学生申请不同的大学，大学接收不同的学生，能否找到一个自我完善的算法来解决这个问题，使得最终的结果是一个稳定的匹配结果？同样的可以用在求职者与公司的招聘工作中。

稳定匹配（Stable Matching）结果：不能找到一个申请方与一个接收方，使得他们各自都更喜欢彼此而胜过他们当前的匹配。

Formalization：

输入：n个男生与n个女生，每个人都对所有的异性有一个排名，共有2个n*n的排名矩阵。

输出：每个男生和女生的匹配结果，结果中不存在不稳定的匹配。

Key Observation：

结果是一个完整的稳定匹配。

Basic idea：

从一小部分的匹配逐步增长到完整的匹配，并保证没有不稳定的匹配出现在增长的过程中。

Inplementation：

使用一个“propose-engage”过程，男生：propose，女生：accept或者reject。

伪代码如下：

StableMatching(A, n)
	for i = 1 to n do
		boys[m] = NULL
		girls[m] = NULL
	end for
	while TRUE do
		if there is no boy b such that boys[b] = NULL then
			return;
		end if 
		select such a boy b arbitrarily
		g = the first girl on m's ranking list to whom g have no yet proposed
		if girls[g] == NULL then
			girls[g] = b;
			boys[b] = g;
		else if g is prefer b to state[g] then
			boys[girls[g]] = NULL;
			boys[b] = g;
			girls[g] = b;
		else
			continue; //reject the propose
		end if
	end whil

初始化之后进入循环，如果当前所有的男生都已经匹配了，就退出循环。否则，从未匹配的男生中任意选择一个男生b，从排名矩阵中选择男生b的对所有女生的排名，然后找出排名最好的女生，如果该女生没有匹配就让两者匹配。否则就从这个女生的排名中找出对已匹配的男生和当前男生的排名，如果更喜欢当前男生就拒绝之前匹配的男生并与当前的男生匹配，否则直接拒绝当前男生。

Correctness

首先可以得到下面的结论：

1. 男生会按照排名降低的顺序去向女生propose
2. 一旦一个女生匹配了，就不会再不匹配
3. 当一个男生向女生propose时，可能会破坏之前的匹配

证明1：所有的男生和女生最终都匹配了。

假设有一个男生没有匹配，说明他向所有女生都propose过但是都被拒绝了。同时一定有一个女生也没有匹配，所以从来没有一个男生向她propose，这产生矛盾。

证明2：在while循环中，每次执行的都是稳定匹配，最终产生的结果不包含不稳定匹配。

假设b和g'是一个不稳定匹配，每个都更喜欢g和b'。第一种情况是b从来没有向g' propose过，推出b更喜欢g，那么b和g'是稳定的，矛盾。第二种情况是b想g' propose过，说明g'拒绝了b，从而g' 更加喜欢b' 而不是b，从而g' 和b是稳定的，也矛盾。

算法最多需要O(n^2)的时间，这个较容易看出。