坐标系转换

3.4 平面上的坐标系

地理坐标是一种球面坐标。由于地球表面是不可展开的曲面，也就是说曲面上的各点不能直接表示在平面上，因此必须运用地图投影的方法，建立地球表面和平面上点的函数关系，使地球表面上任一点由地理坐标（φ、λ）确定的点，在平面上必有一个与它相对应的点，平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐标表示。

平面直角坐标系的建立

在平面上选一点O为直角坐标原点，过该点O作相互垂直的两轴X’OX和Y’OY而建立平面直角坐标系，如图5所示。

直角坐标系中，规定OX、OY方向为正值，OX、OY方向为负值，因此在坐标系中的一个已知点P，它的位置便可由该点对OX与OY轴的垂线长度唯一地确定，即x=AP，y=BP，通常记为P(x，y)。

平面极坐标系（Polar Coordinate）的建立

 

图4-5：平面直角坐标系和极坐标系

如图5所示，设O’为极坐标原点，O’O为极轴，P是坐标系中的一个点，则O’P称为极距，用符号ρ表示，即ρ=O’P。∠OO’P为极角，用符号δ表示，则∠OO’P=δ。极角δ由极轴起算，按逆时针方向为正，顺时针方向为负。

极坐标与平面直角坐标之间可建立一定的关系式。由图5可知，直角坐标的x轴与极轴重合，二坐标系原点间距离OO’用Q表示，则有：

X=Q–ρcosδ

Y=ρsinδ

直角坐标系的平移和旋转

坐标系平移

如图1所示，坐标系XOY与坐标系X’O’Y’相应的坐标轴彼此平行，并且具有相同的正向。坐标系X’O’Y’是由坐标系XOY平行移动而得到的。设P点在坐标系XOY中的坐标为(x，y)，在X’O’Y’中坐标为(x’，y’)，而(a，b)是O’在坐标系XOY中的坐标，于是：

x=x’+a

y=y’+b

上式即一点在坐标系平移前后之坐标关系式。

 

图1：坐标平移

坐标系旋转

如图2所示，如坐标系XOY与坐标系X’O’Y’的原点重合，且对应的两坐标轴夹角为θ，坐标系X’O’Y’是由坐标系XOY以O为中心逆时针旋转θ角后得到的。

x=x’cosθ+y’sinθ

y=y’cosθ-x’sinθ

上式即为经过旋转θ角后的二直角坐标系中某一点坐标的关系式。

图2：坐标旋转

坐标系平移和旋转

如图3所示，坐标系X’O’Y’的原点在坐标系XOY中的坐标为a、b，X轴与X’轴之夹角为θ。可以认为坐标系X’O’Y’原是与坐标系XOY重合，后因为O’分别平移了a、b之距离，并且坐标系二坐标轴O’X’与O’Y’又相对OX与OY逆时针旋转了θ角而得到的。

在二坐标系之间引入一个辅助坐标系X”O’Y”，使它的二坐标轴O’X”与O’Y”分别与OX、OY平行。

在X”O’Y”系中有一点P，其坐标为(x”，y”)，则由坐标系平移公式与坐标系旋转公式可得：

x=x”+a

y=y”+b

故有

x”=x’cosθ+y’sinθ

y”=y’cosθ-x’sinθ

即

x=x’cosθ+y’sinθ+a

y”=y’cosθ-x’sinθ+b

上式即坐标系平移和旋转后新、旧坐标系中某一点坐标之关系式。

 

图3：坐标平移和旋转地图投影的基本问题