坐标系转换

3.4 平面上的坐标系

地理坐标是一种球面坐标。由于地球表面是不可展开的曲面,也就是说曲面上的各点不能直接表示在平面上,因此必须运用地图投影的方法,建立地球表面和平面上点的函数关系,使地球表面上任一点由地理坐标(φ、λ)确定的点,在平面上必有一个与它相对应的点,平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐标表示。

平面直角坐标系的建立

在平面上选一点O为直角坐标原点,过该点O作相互垂直的两轴X’OXY’OY而建立平面直角坐标系,如图5所示。

直角坐标系中,规定OX、OY方向为正值,OX、OY方向为负值,因此在坐标系中的一个已知点P,它的位置便可由该点对OXOY轴的垂线长度唯一地确定,即x=APy=BP,通常记为P(x,y)

平面极坐标系(Polar Coordinate)的建立

 

图4-5:平面直角坐标系和极坐标系

如图5所示,设O’为极坐标原点,O’O为极轴,P是坐标系中的一个点,则O’P称为极距,用符号ρ表示,即ρ=O’P∠OO’P为极角,用符号δ表示,则∠OO’P=δ。极角δ由极轴起算,按逆时针方向为正,顺时针方向为负。

极坐标与平面直角坐标之间可建立一定的关系式。由图5可知,直角坐标的x轴与极轴重合,二坐标系原点间距离OO’Q表示,则有:

X=Q–ρcosδ

Y=ρsinδ

直角坐标系的平移和旋转

坐标系平移

如图1所示,坐标系XOY与坐标系X’O’Y’相应的坐标轴彼此平行,并且具有相同的正向。坐标系X’O’Y’是由坐标系XOY平行移动而得到的。设P点在坐标系XOY中的坐标为(x,y),在X’O’Y’中坐标为(x’,y’),而(a,b)O’在坐标系XOY中的坐标,于是:

x=x’+a

y=y’+b

上式即一点在坐标系平移前后之坐标关系式。

 

图1:坐标平移

坐标系旋转

如图2所示,如坐标系XOY与坐标系X’O’Y’的原点重合,且对应的两坐标轴夹角为θ,坐标系X’O’Y’是由坐标系XOY以O为中心逆时针旋转θ角后得到的。

x=x’cosθ+y’sinθ

y=y’cosθ-x’sinθ

上式即为经过旋转θ角后的二直角坐标系中某一点坐标的关系式。


图2:坐标旋转

坐标系平移和旋转

如图3所示,坐标系X’O’Y’的原点在坐标系XOY中的坐标为a、b,X轴与X’轴之夹角为θ。可以认为坐标系X’O’Y’原是与坐标系XOY重合,后因为O’分别平移了a、b之距离,并且坐标系二坐标轴O’X’O’Y’又相对OXOY逆时针旋转了θ角而得到的。

在二坐标系之间引入一个辅助坐标系X”O’Y”,使它的二坐标轴O’X”O’Y”分别与OXOY平行。

X”O’Y”系中有一点P,其坐标为(x”,y”),则由坐标系平移公式与坐标系旋转公式可得:

x=x”+a

y=y”+b

故有

x”=x’cosθ+y’sinθ

y”=y’cosθ-x’sinθ

x=x’cosθ+y’sinθ+a

y”=y’cosθ-x’sinθ+b

上式即坐标系平移和旋转后新、旧坐标系中某一点坐标之关系式。

 

图3:坐标平移和旋转地图投影的基本问题

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