(hdu step 8.3.1)Tr A(矩阵快速幂——求矩阵m的n次幂的迹%k的结果)
题目：
Tr A |
| Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) |
| Total Submission(s): 66 Accepted Submission(s): 57 |
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Problem Description
A为一个方阵，则Tr A表示A的迹（就是主对角线上各项的和），现要求Tr(A^k)%9973。
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Input
数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据的第一行有n(2 <= n <= 10)和k(2 <= k < 10^9)两个数据。接下来有n行，每行有n个数据，每个数据的范围是[0,9]，表示方阵A的内容。 |
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Output
对应每组数据，输出Tr(A^k)%9973。 |
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Sample Input
2 2 2 1 0 0 1 3 99999999 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
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Sample Output
2 2686 |
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Author
xhd
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Source
HDU 2007-1 Programming Contest
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Recommend
linle
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题目分析：
矩阵快速幂。
以下说一下为什么会存在快速幂这个方法(纯属个人理解,可能不太准确)。
我们经常会遇到这样的一个需求:"求a的b次幂模k"。当a和b都很大的时候，那么普通方法所得结果很可能已经超过了C/C++中整数所能表示的范围。这时候，我们就得利用一下矩阵快速幂了。
对于数字而言的快速幂的模板如下：
// m^n % k
int quickpow(int m,int n,int k)
{
int b = 1;
while (n > 0)
{
if (n & 1)
b = (b*m)%k;
n = n >> 1 ;
m = (m*m)%k;
}
return b;
}
对于矩阵而言的快速幂的模板如下：
struct Mat {
int mat[N][N];
};
/**
* 矩阵相乘.
* 返回的是矩阵a*矩阵b候所得的结果
*/
Mat operator * (Mat a, Mat b) {
Mat c;
memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
int i, j, k;
for(i = 0; i < n; ++i) {
for(j = 0; j < n; ++j) {
for(k = 0; k < n; ++k) {
c.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];
}
c.mat[i][j] %= 9973;//这个是根据题目加的,结果矩阵中每一个都应该%9973,否则可能会溢出
}
}
return c;
}
/**
* 求矩阵的幂次方
* 返回的是a^k次幂
*/
Mat operator ^ (Mat a, int k) {
Mat c;
int i, j;
for(i = 0; i < n; ++i){
for(j = 0; j < n; ++j){
c.mat[i][j] = (i == j); //初始化为单位矩阵
}
}
//快速幂算法
for(; k; k >>= 1) {
if(k&1){
c = c*a;
}
a = a*a;
}
return c;
}
/**
* 求矩阵的迹.
*
* 其实就是把矩阵对角线上的数加一下即可
*
*/
int getTr(Mat a,int n){
int i;
int sum = 0;
for(i = 0 ; i < n ; ++i){
sum += a.mat[i][i];//将矩阵对对角线上的数累加以下
sum %= 9973;//防止数字溢出,每一个都取模
}
return sum;
}
代码如下：
/*
* a.cpp
*
* Created on: 2015年3月25日
* Author: Administrator
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 11;
int n;
struct Mat {
int mat[N][N];
};
/**
* 矩阵相乘.
* 返回的是矩阵a*矩阵b候所得的结果
*/
Mat operator * (Mat a, Mat b) {
Mat c;
memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
int i, j, k;
for(i = 0; i < n; ++i) {
for(j = 0; j < n; ++j) {
for(k = 0; k < n; ++k) {
c.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];
}
c.mat[i][j] %= 9973;//这个是根据题目加的,结果矩阵中每一个都应该%9973,否则可能会溢出
}
}
return c;
}
/**
* 求矩阵的幂次方
* 返回的是a^k次幂
*/
Mat operator ^ (Mat a, int k) {
Mat c;
int i, j;
for(i = 0; i < n; ++i){
for(j = 0; j < n; ++j){
c.mat[i][j] = (i == j); //初始化为单位矩阵
}
}
//快速幂算法
for(; k; k >>= 1) {
if(k&1){
c = c*a;
}
a = a*a;
}
return c;
}
/**
* 求矩阵的迹.
*
* 其实就是把矩阵对角线上的数加一下即可
*
*/
int getTr(Mat a,int n){
int i;
int sum = 0;
for(i = 0 ; i < n ; ++i){
sum += a.mat[i][i];//将矩阵对对角线上的数累加以下
sum %= 9973;//防止数字溢出,每一个都取模
}
return sum;
}
int main(){
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--){
int k;
scanf("%d%d",&n,&k);
Mat m;
int i;
int j;
for(i = 0 ; i < n ; ++i){
for(j = 0 ; j < n ; ++j){
scanf("%d",&m.mat[i][j]);
}
}
m = m^k;//这就是求矩阵k次幂的用法
printf("%d\n",getTr(m,n));
}
return 0;
}