利用二次导数对函数凹凸性的证明

很多人其实都知道可以利用函数的二次导数来判断函数的凹凸性，但是很多人忘记了怎么来证明的，在这里我来再次证明一下。

求证：若f(x)在(a,b)内连续并且二次可导，若f''(x)>0则函数凹，反之函数凸

前序：

先给出几个定理以及说明。

关于函数凹凸性的说明：

函数f(x)在(a,b)内连续，对于任意的a<x1<x2<b，其中x0=(x1+x2)/2，

若f(x0)<(f(x1)+f(x2))/2，则认为该函数(向上)凹；若f(x0)>(f(x1)+f(x2))/2，则认为函数(向上)凸

给出一个证明过程中需要用到的定理：拉格朗日中值定理

函数f(x)在(a,b)内连续在[a,b]内可导，则至少存在一点e，且a<e<b使得f'(e)=(f(b)-f(a))/(b-a)

下面开始证明我们最初的问题：

任意取f(x)上两点x1,x2使得a<x1<x2<b，令x0=(x2+x1)/2，则x0-x1=x2-x0，令x0-x1=x2-x0=h，则分别在(x1,x1+h)和(x2-h,x2)内应用两次拉格朗日中值定理

f'(e1)=(f(x0)-f(x1))/h  (1)

f'(e2)=(f(x2)-f(x0))/h (2)  

其中e1在(x1,x0)范围内，e2在(x0,x2)范围内

让(1)和(2)先把h乘到左边，然后再相减得到:(f'(e2)-f'(e1))h=f(x2)+f(x1)-2(f(x0))  (3)

然后我们再在(e1,e2)中利用一次拉格朗日中值定理，得到如下：

f'(e2)-f'(e1)=f''(e)(e2-e1)  其中e在(e1,e2)范围内，则由条件f''(e)大于0得到(3)的左边大于0，同样由(3)的右边可以得到

f(x0)=f((x1+x2)/2)<(f(x2)+f(x1))/2，再结合函数凹凸性的定理可以得到原函数为凹，对于凸的证明类似。。就不做证明了