线性代数导论3——乘法与逆矩阵

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址： http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

第三课时：乘法与逆矩阵

本课时先讲解矩阵乘法运算，然后是逆矩阵

一、矩阵乘法：5种方法

Am×n Bn×p = Cm×p，A列必须等于B的行数

1）常规方法，行列点乘法：C=AB，C中的第i行j列结果来自A的第i行向量与B的第j列向量的点乘。整行整列的进行。

2）列方法，整列考虑，列的线性组合方式：B的一个列向量乘以A（矩阵A各列向量的线性组合）得到C的对应列向量，此过程其余列向量暂不参与计算。

3）行方法，整行考虑，行的线性组合方式：A的一个行向量乘以B（矩阵B各行向量的线性组合）得到C的对应行向量，此过程其余行向量暂不参与计算。

4）列×行法：AB等于A各列与B各行乘积之和：A中列乘以B中行，如A第一列乘以B第一行得一个矩阵（这样的矩阵很特殊，行向量和列向量都是单个向量的线性组合，第四讲会讲到有关行空间，列空间的概念），最后将得到的各矩阵相加。我们就看一列和一行相乘的例子：

特殊之处：右侧矩阵的行空间是一条直线，即行所有可能的线性组合都在一条直线上；同理其列空间也是直线。所以这实际上是一个很小的矩阵。

5）分块乘法：将矩阵A，B分成能够相互匹配的块，然后对应进行分块行点乘分块列。

二、矩阵的逆

对于可逆方阵，左逆矩阵等于右逆矩阵。

什么样的矩阵可逆或者说是非奇异的？

我们可以讨论奇异矩阵，不可逆的情况。

1）行列式为0

2）列图像思考，假设A可逆，那A乘以他的逆矩阵得单位矩阵，A矩阵乘以其逆矩阵的第一列得单位矩阵的第一列（1 0），因为其列的线性组合始终在（1 2）这条直线上，所以不可能得到（1 0）向量。

3）如果存在非0向量X，使的AX=0，即X对A的列向量的线性组合可以得到0向量（有一列在线性组合中不起作用），那么A是不可逆的。证明：假设存在可逆矩阵A-1，那么有A-1AX=0，得IX=0，得X=0，与X是非0向量相违背。

结论：不可逆矩阵，奇异矩阵，其列能通过线性组合得到0向量。

如何求逆？

1）利用列的线性组合思想，矩阵A乘以该求的逆矩阵得到单位矩阵，这样，求逆和求方程组是一个意思

2）将两个方程组放在一起考虑，如下，可理解为系数矩阵不变，分别求两个方程组的解，即可求得矩阵的逆。我们把下面两个放在一起考虑，形成 增广矩阵，使得消元变换对两个方程组的作用是一样的。将增广矩阵的左侧变换消元为单位矩阵，右侧就变成其逆矩阵了。这是高斯-若尔当思想消元。

为什么增广矩阵的右侧变成的是矩阵A的逆，以下变换给予证明：E为一次性的消元矩阵，EA=I，那么E=A-1了

A和B都存在逆，那么AB的逆是多少？
是B的逆乘以A的逆得到的矩阵。为什么相乘的顺序要反过来？因为逆即是逆操作。

可逆矩阵转置的逆是什么？

A乘以A的逆等于单位矩阵，两侧同时转置，右侧单位矩阵转置仍然得单位矩阵，左侧分别转置两个矩阵，然后以相反顺序相乘，因此A的逆的转置乘以A的转置得到单位阵。A转置的逆即是A的逆的转置。因此，要求A转置的逆，只需要先求A的逆，然后求该逆的转置即可。转置和逆两种乘法运算，对于单个矩阵而已，其顺序可以颠倒。