整数分解为2的幂-清华复试上机题
题目：
解法：
来自：http://www.cnblogs.com/skyiv/archive/2010/03/27/1698550.html
记f(n)为n的划分数，我们有递推公式：
f(2m + 1) = f(2m)，
f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
初始条件：f(1) = 1。
证明:
证明的要点是考虑划分中是否有1。
记:
A(n) = n的所有划分组成的集合，
B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合，
C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合，
则有: A(n) = B(n)∪C(n)。
又记:
f(n) = A(n)中元素的个数，
g(n) = B(n)中元素的个数，
h(n) = C(n)中元素的个数，
易知: f(n) = g(n) + h(n)。
以上记号的具体例子见文末。
我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m)，
首先，2m + 1 的每个划分中至少有一个1，去掉这个1，就得到 2m 的一个划分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。
其次，2m 的每个划分加上个1，就构成了 2m + 1 的一个划分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。
综上，f(2m + 1) = f(2m)。
接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个，就得到 A(2m - 1) 中的一个划分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。
把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1，就得到 B(2m) 中的一个划分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。
综上，g(2m) = f(2m - 1)。
把 C(2m) 中的划分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一个划分，故 h(2m)≤f(m)。
把 A(m) 中的划分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一个划分，故 f(m)≤h(2m)。
综上，h(2m) = f(m)。
所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。
这就证明了我们的递推公式。
记 f(0) = 1，根据递推公式，可以得到:
f(2m) = f(0) + f(1) + ... + f(m)。
一些例子：
A(3) = {
(1,1,1)
(1,2)
},
f(3) = 2,
A(4) = {
(1,1,1,1)
(1,1,2)
(2,2)
(4)
},
f(4) = 4,
A(5) = {
(1,1,1,1,1)
(1,1,1,2)
(1,2,2)
(1,4)
},
f(5) = 4,
A(6) = {
(1,1,1,1,1,1)
(1,1,1,1,2)
(1,1,2,2)
(1,1,4)
(2,2,2)
(2,4)
},
f(6) = 6,
B(6) = {
(1,1,1,1,1,1)
(1,1,1,1,2)
(1,1,2,2)
(1,1,4)
},
g(6) = 4,
(2,2,2)
(2,4)
},
h(6) = 2.
当n=10^12时：
参考：http://www.51nod.com/answer/index.html#!answerId=159
Valentin P. Bakoev
代码，数比较大，java搞定
import java.io.InputStreamReader;
import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;
public class nod1047 {
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner cin = new Scanner(new InputStreamReader(System.in));
BigInteger []num = new BigInteger[1000002];
num[1] = BigInteger.valueOf(1);
int n = cin.nextInt();
for(int i = 2; i <= n; ++ i)
{
if(i%2 == 0)
{
num[i] = num[i-1].add(num[i/2]);
}
else {
num[i] = num[i-1];
}
}
System.out.println(num[n]);
}
}