算法导论 第22章 图的基本算法 22.5 强联通分支

一、综述

 定义：

 

二、代码

https://code.csdn.net/mishifangxiangdefeng/exerciseforalgorithmsecond/tree/master/src/chapter22/section22_5.cpp

 

三、练习

22.5-1

不变或减少

 

22.5-2

第一次DFS结果：

r u q t y x z s v w

G转置的结果：

q:y

r:

s:q w

t:q

u:r

v:s

w:q v

x:t z

y:r t u

z:x

第二次DFS的结果：

r

u

q y t

x z

s w v

 

22.5-3

 简化后的算法不可行，证明如下。

在原算法中，过程总结为这样几步

（1）对图G作DFS，计算每个点的结束时间f

（2）将结点以f递减排序

（3）对图作转置，得到GT

（4）以f递减顺序对GT作DFS

（5）第二次DFS后得到的一个树里的点都属于同一个强联通分支

如果以DFS后的f递减排序，排序的结点有规律呢？

假设f[u]>f[v]，那么u和v的关系可能有几下四种情况

（1）u和v互相不可达

（2）u和v互相可达，即在同一个联通分支内

（3）u到v可达 && v到u不可达

（4）u到v不可达 && v到u可达 && (v,u)不是G中的边 && 存在另一个结点w && w与v在同一个联通分支 && w到u可达 && f[w]>f[u]>f[v]

以下将针对这四种情况做第（3）（4）操作，看是否能得到第（5）的结果

对G做DFS后，f[u]>f[v]，u和v的关系	在GT中u和v的关系	在GT中对u做DFS，v是否会成为u的后继
u和v互相不可达	u和v互相不可达	不会
u和v互相可达，即在同一个联通分支内	u和v互相可达，即在同一个联通分支内	会
u到v可达 && v到u不可达	u到v不可达 && v到u可达	不会
u到v不可达 && v到u可达 && (v,u)不是G中的边 && 存在另一个结点w && w与v在同一个联通分支 && w到u可达 && f[w]>f[u]>f[v]	u到v可达 && v到u不可达 && (u,v)不是G中的边 && 存在另一个结点w && w与v在同一个联通分支 && u到w可达	不会。 虽然u到v可达。但由于f[w]<f[v]，会先对w做DFS，v已经是w的后继了，所以不会成为u的后继

由此可以知道，以f递减的顺序对GT作DFS，同一个连通分支的点会到一棵不树上，不是同一个连通分支的点不会到一棵树上。

再看本题的算法过程，总结为以下几步：

（1）对图G作DFS，计算每个点的结束时间f

（2）将结点以f递增排序

（3）以f递增的顺序对GT作DFS

（4）第二次DFS后得到的一个树里的点都属于同一个强联通分支

与上述步骤类似，我们先分析f递增排序后结点的关系，然后针对这些关系做第（3）步，分析是否能得到第（4）步的结果

对G做DFS后，f[u]<f[v]，u和v的关系	在G中对u做DFS，v是否会成为u的后继
u和v互相不可达	不会
u和v互相可达，即在同一个联通分支内	会
u到v不可达 && v到u可达	不会
u到v可达 && v到u不可达 && (u,v)不是G中的边 && 存在另一个结点w && w与u在同一个联通分支 && w到v可达 && f[w]>f[v]>f[u]	会。 此处不对。u和v不属于同一个联通分支，但v会成为u的后继

因此该算法不可行。

 

22.5-5

见 算法导论 22.5-5 O(V+E)求有向图的分支图

 

22.5-6

待解决，题目的意思不太懂，网上找了个答案，主要是其中的第四步不懂。

令所求图为G2，翻译一下：
STEP1：使用22.5中的算法计算出所有的强连通分支
STEP2：使用22.5中和算法计算出分支图G|SCC
STEP3：将G2的边集初始化为空
STEP4：将每个强连通分支中的顶点构成环。比如强连通分支a中有ea1,ea2,ea3,ea4这四个顶点，就在G2中加入边ea1->ea2,ea2->ea3,ea3->ea4,ea4->ea1
STEP5：把分支图的边加到G2中。比如分支图中有一条强连通分支a到强连通分支b的边，就在G2中加入一条ea到eb的边。其中ea是a中的任意一个顶点，eb是b中的任意一个顶点
解释：
强连通分支：

分支图：

G与G2有相同的强连通分支 ===>   G2的顶点与G的顶点相同
G与G2有相同的分支图     ===>   G2至少有着G|SCC中的边   ===>   STEP5
G2有最小的边            ===>   具有最少边的强连通图是一个环，边的个数与顶点的个数相同   ===>   STEP4

22.5-7

STEP1：使用22.5-5中的算法得到SCC。

STEP2：对SCC求拓扑序列(v1, v2, ……, vk)

STEP3：若在边SCC中存在边(v1,v2),(v2,v3),……,(vk-1,vk)，则图G为半连通。