约瑟夫环问题的原来描述为,设有编号为1,2,……,n的n(n>0)个人围成一个圈,从第1个人开始报数,报到m时停止报数,报m的人出圈,再从他的下一个人起重新报数,报到m时停止报数,报m的出圈,……,如此下去,直到所有人全部出圈为止。当任意给定n和m后,设计算法求n个人出圈的次序。 稍微简化一下。
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
思路:容易想到的就是用环链表来做,构建一个环链表,每个结点的编号为0, 1, ...... n-1。每次从当前位置向前移动m-1步,然后删除这个结点。最后剩下的结点就是胜利者。给出两种方法实现,一种是自定义链表操作,另一种用是STL库的单链表。不难发现,用STL库可以提高编写速度。
struct ListNode { int num; //编号 ListNode *next; //下一个 ListNode(int n = 0, ListNode *p = NULL) { num = n; next = p;} }; //自定义链表实现 int JosephusProblem_Solution1(int n, int m) { if(n < 1 || m < 1) return -1; ListNode *pHead = new ListNode(); //头结点 ListNode *pCurrentNode = pHead; //当前结点 ListNode *pLastNode = NULL; //前一个结点 unsigned i; //构造环链表 for(i = 1; i < n; i++) { pCurrentNode->next = new ListNode(i); pCurrentNode = pCurrentNode->next; } pCurrentNode->next = pHead; //循环遍历 pLastNode = pCurrentNode; pCurrentNode = pHead; while(pCurrentNode->next != pCurrentNode) { //前进m - 1步 for(i = 0; i < m-1; i++) { pLastNode = pCurrentNode; pCurrentNode = pCurrentNode->next; } //删除报到m - 1的数 pLastNode->next = pCurrentNode->next; delete pCurrentNode; pCurrentNode = pLastNode->next; } //释放空间 int result = pCurrentNode->num; delete pCurrentNode; return result; }
//使用标准库 int JosephusProblem_Solution2(int n, int m) { if(n < 1 || m < 1) return -1; list<int> listInt; unsigned i; //初始化链表 for(i = 0; i < n; i++) listInt.push_back(i); list<int>::iterator iterCurrent = listInt.begin(); while(listInt.size() > 1) { //前进m - 1步 for(i = 0; i < m-1; i++) { if(++iterCurrent == listInt.end()) iterCurrent = listInt.begin(); } //临时保存删除的结点 list<int>::iterator iterDel = iterCurrent; if(++iterCurrent == listInt.end()) iterCurrent = listInt.begin(); //删除结点 listInt.erase(iterDel); } return *iterCurrent; }
上述方法的效率很低,其时间复杂度为O(mn)。当n和m很大时,很难在短时间内得出结果。不过好处就是可以给出n个人出圈的次序。只要在删除前保存一下即可。
下面利用数学推导,如果能得出一个通式,就可以利用递归、循环等手段解决。下面给出推导的过程:
(1)第一个被删除的数为 (m - 1) % n。
(2)假设第二轮的开始数字为k,那么这n - 1个数构成的约瑟夫环为k, k + 1, k + 2, k +3, .....,k - 3, k - 2。做一个简单的映射。
k -----> 0k-2 ------> n-2
这是一个n -1个人的问题,如果能从n - 1个人问题的解推出 n 个人问题的解,从而得到一个递推公式,那么问题就解决了。假如我们已经知道了n -1个人时,最后胜利者的编号为x,利用映射关系逆推,就可以得出n个人时,胜利者的编号为 (x + k) % n。其中k等于m % n。代入(x + k) % n <=> (x + (m % n))%n <=> (x%n + (m%n)%n)%n <=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n
(3)第二个被删除的数为(m - 1) % (n - 1)。
(4)假设第三轮的开始数字为o,那么这n - 2个数构成的约瑟夫环为o, o + 1, o + 2,......o - 3, o - 2.。继续做映射。
o -----> 0
o+1 ------> 1
o+2 ------> 2
...
...
o-2 ------> n-3
这是一个n - 2个人的问题。假设最后的胜利者为y,那么n -1个人时,胜利者为 (y + o) % (n -1 ),其中o等于m % (n -1 )。代入可得 (y+m) % (n-1)要得到n - 1个人问题的解,只需得到n - 2个人问题的解,倒推下去。只有一个人时,胜利者就是编号0。下面给出递推式:
f [1] = 0;
f [ i ] = ( f [i -1] + m) % i; (i>1)
有了递推公式,实现就非常简单了,给出循环的两种实现方式。再次表明用标准库的便捷性。
int JosephusProblem_Solution3(int n, int m) { if(n < 1 || m < 1) return -1; int *f = new int[n+1]; f[0] = f[1] = 0; //f[0]其实用不到的 for(unsigned i = 2; i <= n; i++) f[i] = (f[i-1] + m) % i; //按递推公式进行计算 int result = f[n]; delete []f; return result; }
int JosephusProblem_Solution4(int n, int m) { if(n < 1 || m < 1) return -1; vector<int> f(n+1,0); for(unsigned i = 2; i <= n; i++) f[i] = (f[i-1] + m) % i; return f[n]; }
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