基础知识（五）对齐变换相关函数
在机器学习、图像处理中，经常要计算两个特征向量之间形状的距离，比如我用face++检测到两张人脸的特征点数据，我们要用人脸的特征点计算出这两张人脸的之间的相似度，这个时候我们就需要对这两张人脸进行对齐操作，就是AAM算法中的Procrustes Analysis对齐算法。这个是基础算法，因此在这里做一下笔记，贴一下代码，以便日后调用，因为最近搞项目，老是用到这个算法。
一、固定两点对齐
假如我要计算线段PQ变换成P'Q'的变换矩阵，那么我首先要计算计算向量PQ和向量P'Q'的变换矩阵（旋转和缩放），然后再以P点为源点，把P点平移到P'点。因此过程分成两步：
1、计算向量间的变换矩阵
<span style="font-size:18px;">//计算两个线段之间的变换矩阵，求解线段（Line2P,Line2Q）往（Line1P,Line1Q）的变换矩阵
Eigen::Matrix2d CSearchFace::Transform_Line_Segment(cv::Vec2f Line1P,cv::Vec2f Line1Q,cv::Vec2f Line2P,cv::Vec2f Line2Q)
{
Eigen::Vector2d A;
Eigen::Vector2d B;
A(0)=Line1P[0];
A(1)=Line1P[1];
B(0)=Line1Q[0];
B(1)=Line1Q[1];
Eigen::Vector2d C;
Eigen::Vector2d D;
C(0)=Line2P[0];
C(1)=Line2P[1];
D(0)=Line2Q[0];
D(1)=Line2Q[1];
Eigen::Vector2d cd=D-C;
Eigen::Vector2d ab=B-A;
Eigen::Matrix2d cof;
cof(0,0)=cd(0);
cof(0,1)=cd(1);
cof(1,0)=cd(1);
cof(1,1)=-cd(0);
Eigen::Vector2d tr=cof.inverse()*ab;
cof(0,0)=tr(0);
cof(0,1)=tr(1);
cof(1,0)=-tr(1);
cof(1,1)=tr(0);
return cof;
}</span>
2、平移变换。
下面以人脸特征点的对齐为例子，计算两个人脸特征点之间的相似度，因为最近做到的项目是参考文献《Data-Driven Face Cartoon Stylization》的算法，里面涉及到从脸型库里面寻找与用户输入的人脸最相似的脸型。在第4部分的第4段，Chin and mouth的算法，脸庞之间距离的计算方法是通过固定脸庞上的两个顶点，然后进行计算距离，因此我把代码贴一下：
//算法通过固定脸庞上的1、13号点，对这两个点进行变换对齐，然后计算1~13号点之间的距离总和
float CSearchFace::GetFaceDistance(vector<cv::Vec2f>face1_landmark,vector<cv::Vec2f>face2_landmark)
{
float sum_dis=0;
vector<cv::Vec2f>result0;
//计算向量间的变换矩阵
Eigen::Matrix2d tm=Transform_Line_Segment(face1_landmark[1],face1_landmark[13],face2_landmark[1],face2_landmark[13]);
//平移
Eigen::Vector2d Line1P(face2_landmark[1][0],face2_landmark[1][1]);
Eigen::Vector2d Movv(face1_landmark[1][0],face1_landmark[1][1]);
for (int i=1;i<14;i++)
{
Eigen::Vector2d pt(face2_landmark[i][0],face2_landmark[i][1]);
Eigen::Vector2d dst_point_eigen=pt-Line1P;
Eigen::Vector2d src_point_eigen=tm*dst_point_eigen+Movv;//变换后的点
result0.push_back(cv::Vec2f(src_point_eigen(0),src_point_eigen(1)));//最后的结果
//距离计算
cv::Vec2f disv=cv::Vec2f(src_point_eigen(0),src_point_eigen(1))-face1_landmark[i];
sum_dis+=sqrt(disv[0]*disv[0]+disv[1]*disv[1]);
}
m_restul=result0;
return sum_dis;
}
二、相似变换对齐
《Data-Driven Face Cartoon Stylization》的算法嘴部的对齐算法与脸庞的对齐算法不一样，嘴部是通过相似变换的算法实现的。或者称之为仿射变换
python 版本：
def transformation_from_points(points1, points2):
"""
Return an affine transformation [s * R | T] such that:
sum ||s*R*p1,i + T - p2,i||^2
is minimized.
"""
points1 = points1.astype(numpy.float64)
points2 = points2.astype(numpy.float64)
c1 = numpy.mean(points1, axis=0)
c2 = numpy.mean(points2, axis=0)
points1 -= c1
points2 -= c2
s1 = numpy.std(points1)
s2 = numpy.std(points2)
points1 /= s1
points2 /= s2
U, S, Vt = numpy.linalg.svd(points1.T * points2)
R = (U * Vt).T
return numpy.vstack([numpy.hstack(((s2 / s1) * R,
c2.T - (s2 / s1) * R * c1.T)),
numpy.matrix([0., 0., 1.])])
c++版本：
//把src往ref进行变换对齐
Eigen::Matrix<float, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> CSearchMouth::Similarity_transform_2d(vector<Vector2> src,vector<Vector2>ref, vector<Vector2>&dst)
{
int count=ref.size();
dst.resize(count);
assert(count >= 3);
Eigen::Matrix<float, Dynamic, Dynamic> A(2 * count, 4), X, B(2 * count, 1), S;
for (int i = 0; i < count; i++)
{
A(i, 0) = src[i].x;
A(i, 1) = src[i].y;
A(i, 2) = 1;
A(i, 3) = 0;
A(i + count, 0) = src[i].y;
A(i + count, 1) = -src[i].x;
A(i + count, 2) = 0;
A(i + count, 3) = 1;
B(i, 0) = ref[i].x;
B(i + count, 0) = ref[i].y;
}
X = A.jacobiSvd(ComputeThinU | ComputeThinV).solve(B);
Eigen::Matrix<float, 2, 3> M;
M << X(0, 0), X(1, 0), X(2, 0), -X(1, 0), X(0, 0), X(3, 0);
for (int i = 0; i < count; i++)
{
dst[i].x = M(0, 0) * src[i].x + M(0, 1) * src[i].y + M(0, 2);
dst[i].y = M(1, 0) * src[i].x + M(1, 1) * src[i].y + M(1, 2);
}
return M;
}
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