simhash算法的原理

第一次听说google的simhash算法[1]时，我感到很神奇。传统的hash算法只负责将原始内容尽量均匀随机地映射为一个签名值，原理上相当于伪随机数产生算法。传统hash算法产生的两个签名，如果相等，说明原始内容在一定概率下是相等的；如果不相等，除了说明原始内容不相等外，不再提供任何信息，因为即使原始内容只相差一个字节，所产生的签名也很可能差别极大。从这个意义上来说，要设计一个hash算法，对相似的内容产生的签名也相近，是更为艰难的任务，因为它的签名值除了提供原始内容是否相等的信息外，还能额外提供不相等的原始内容的差异程度的信息。

因此当我知道google的simhash算法产生的签名，可以用来比较原始内容的相似度时，便很想了解这种神奇的算法的原理。出人意料，这个算法并不深奥，其思想是非常清澈美妙的。

simhash算法的输入是一个向量，输出是一个f位的签名值。为了陈述方便，假设输入的是一个文档的特征集合，每个特征有一定的权重。比如特征可以是文档中的词，其权重可以是这个词出现的次数。simhash算法如下：

1，将一个f维的向量V初始化为0；f位的二进制数S初始化为0；

2，对每一个特征：用传统的hash算法对该特征产生一个f位的签名b。对i=1到f：

如果b的第i位为1，则V的第i个元素加上该特征的权重；

否则，V的第i个元素减去该特征的权重。  

3，如果V的第i个元素大于0，则S的第i位为1，否则为0；

4，输出S作为签名。

这个算法的几何意义非常明了。它首先将每一个特征映射为f维空间的一个向量，这个映射规则具体是怎样并不重要，只要对很多不同的特征来说，它们对所对应的向量是均匀随机分布的，并且对相同的特征来说对应的向量是唯一的就行。比如一个特征的4位hash签名的二进制表示为1010，那么这个特征对应的4维向量就是(1, -1, 1, -1)T，即hash签名的某一位为1，映射到的向量的对应位就为1，否则为-1。然后，将一个文档中所包含的各个特征对应的向量加权求和，加权的系数等于该特征的权重。得到的和向量即表征了这个文档，我们可以用向量之间的夹角来衡量对应文档之间的相似度。最后，为了得到一个f位的签名，需要进一步将其压缩，如果和向量的某一维大于0，则最终签名的对应位为1，否则为0。这样的压缩相当于只留下了和向量所在的象限这个信息，而64位的签名可以表示多达264个象限，因此只保存所在象限的信息也足够表征一个文档了。

明确了算法了几何意义，使这个算法直观上看来是合理的。但是，为何最终得到的签名相近的程度，可以衡量原始文档的相似程度呢？这需要一个清晰的思路和证明。在simhash的发明人Charikar的论文中[2]并没有给出具体的simhash算法和证明，以下列出我自己得出的证明思路。

Simhash是由随机超平面hash算法演变而来的，随机超平面hash算法非常简单，对于一个n维向量v，要得到一个f位的签名(f<<n)，算法如下： 

1，随机产生f个n维的向量r1,…rf；

2，对每一个向量ri，如果v与ri的点积大于0，则最终签名的第i位为1，否则为0.

这个算法相当于随机产生了f个n维超平面，每个超平面将向量v所在的空间一分为二，v在这个超平面上方则得到一个1，否则得到一个0，然后将得到的f个0或1组合起来成为一个f位的签名。如果两个向量u, v的夹角为θ，则一个随机超平面将它们分开的概率为θ/π，因此u, v的签名的对应位不同的概率等于θ/π。所以，我们可以用两个向量的签名的不同二进制位的数量，即汉明距离，来衡量这两个向量的差异程度。

Simhash算法与随机超平面hash是怎么联系起来的呢？在simhash算法中，并没有直接产生用于分割空间的随机向量，而是间接产生的：第k个特征的hash签名的第i位拿出来，如果为0，则改为-1，如果为1则不变，作为第i个随机向量的第k维。由于hash签名是f位的，因此这样能产生f个随机向量，对应f个随机超平面。下面举个例子：

假设用5个特征w1,…,w5来表示所有文档，现要得到任意文档的一个3维签名。假设这5个特征对应的3维向量分别为：

h(w1) = (1, -1, 1)T

h(w2) = (-1, 1, 1)T

h(w3) = (1, -1, -1)T

h(w4) = (-1, -1, 1)T

h(w5) = (1, 1, -1)T

按simhash算法，要得到一个文档向量d=(w1=1, w2=2, w3=0, w4=3, w5=0) T的签名，

先要计算向量V = 1*h(w1) + 2*h(w2) + 0*h(w3) + 3*h(w4) + 0*h(w5) = (-4, -2, 6) T，

然后根据simhash算法的步骤3，得到最终的签名S=001。

上面的计算步骤其实相当于，先得到3个5维的向量，第1个向量由h(w1),…,h(w5)的第1维组成：

r1=(1,-1,1,-1,1) T；

第2个5维向量由h(w1),…,h(w5)的第2维组成：

r2=(-1,1,-1,-1,1) T；

同理，第3个5维向量为：

r3=(1,1,-1,1,-1) T.

按随机超平面算法的步骤2，分别求向量d与r1,r2,r3的点积:

d T r1=-4 < 0，所以s1=0;

d T r2=-2 < 0，所以s2=0;

d T r3=6 > 0，所以s3=1.

故最终的签名S=001，与simhash算法产生的结果是一致的。

从上面的计算过程可以看出，simhash算法其实与随机超平面hash算法是相同的，simhash算法得到的两个签名的汉明距离，可以用来衡量原始向量的夹角。这其实是一种降维技术，将高维的向量用较低维度的签名来表征。衡量两个内容相似度，需要计算汉明距离，这对给定签名查找相似内容的应用来说带来了一些计算上的困难；我想，是否存在更为理想的simhash算法，原始内容的差异度，可以直接由签名值的代数差来表示呢？