欧几里德算法及其扩展算法的迭代版本

欧几里德算法及其扩展算法的迭代版本(转)

整除和最大公约数。

如果m能整除n，记m|n。

对于不全为0的两个整数a和b，能同时整除他们俩的最大整数为它们的最大公约数，记为gcd(a,b)。如果gcd(a,b)=1，则a、b互质。

求gcd(a,b)可用欧几里德算法：

a = q₁ * b + r₁

b = q₂ * r₁ + r₂

r1 = q₃ * r₂ + r₃

r2 = q₄ * r₃ + r₄

……

r_n-3 = q_n-1 * r_n-2 + r_n-1

r_n-2 = q_n * r_n-1 + r_n => r_n就是gcd

r_n-1 = q_n+1 * r_n + 0

欧几里德算法非常好写。以pascal语言为例：

function gcd(a,b:longint):longint;

begin

if b=0 then gcd:=a

else gcd:=gcd(b,a mod b);

end;

线性方程ax+by=c的解法。

对于a和b，ax+by是a和b的线性组合。这里x和y可以是任何整数。

令g=gcd(a,b)，则g整除所有的ax+by。特别地，所有ax+by的取值中，最小的正值为g。

因此，方程ax+by=c，仅当gcd(a,b)|c时有解。因此只考虑方程ax+by=gcd(a,b)的解法。

回忆上一章中讲的欧几里德算法，在第i步，我们有

r_i-2 = q_i * r_i-1 + r_i 。若r_i+1=0,则r_i就是gcd。

假设r_i可表示为a和b的线性组合(x_i,y_i)，即r_i=ax_i+by_i，则有(x_i,y_i)=(x_i-2,y_i-2)-q_i* (x_i-1,y_i-1)。

初始时， 由于a=q1*b+r1,即r1=a-b*q1,由序列{Rn}的通项公式Rn=R(n-2)-R(n-1)*q1,我们可以把a看做r(-1),

b看做,r0,那么对应于表达式ri=a*xi+b*yi,r(-1)=a=a*1+b*0=(1,0),r0=b=a*0+b*1=(0,1);

即r_-1=a=(1,0)，r₀=b=(0,1)。这样便可一步步推出r_n=(x_n,y_n)，即为原方程的一组解。

因此有如下定理：

令a和b为非零整数，g=gcd(a,b)，则方程

ax+by=g 总可以通过欧几里德算法找出一组可行整解，记为(x₁,y₁)。它的通解可以表示为：

(x,y)=(x₁+k*b/g , y₁-k*a/g) ，其中k为任意整数。

竞赛中常用的欧几里德扩展算法采用的是倒推的方法，相比而言，本章提供的方法需要的变量稍多，常数稍大（只大了一点点）。但由于易于用迭代实现，而且实际测试中两种算法时间差别十分微小，因此本算法仍有应用价值。